x^4-7x^2+1 の因数分解の解説お願いします。 途中式が全く理解できないです。

x^4-7x^2+1 の因数分解の解説お願いします。
途中式が全く理解できないです。

No.4 ベストアンサー 回答者： MayTyu 回答日時： 2020/07/21 22:38

1行目　このような形の式（ｘの4乗+ｘの2乗+定数項）を複2次式といいます。

4次式に見えて2次式が2個潜んでいるからです。1番大事！ｘ＾2を「きちんと断ってから」ｔと置いてあげてください。このような問題は高い確率で記述式になりますから、前提をきちんとおいてこの文字を使うよ、と宣言してあげましょう。

2行目→3行目　複2次式の場合、ここが2番目に大事です。ｘの2乗（ここではｔにおきかわっていますよ）を後ろでマイナスすること。これは平方の差の公式（因数分解）
x^2-a^2=(x+a)(x-a)
を後々使えるようにするためです。
一般に2乗は少々扱いにくいですから、よく出る「平方の差の公式」が使えないかな～と考えてください。

5行目　このタイミングで-9ｔに注目です。（わざとそうなるように設定され、そう解いているのですが）9は平方数です。（3の2乗）これはラッキーだと思ってください。
ｔにｘ＾2を代入することで、9ｔは（3ｘ）＾2に変わり、先ほどからたくさん言っている「平方の差の公式」を使う出番になるからです。（自分で解くときはこうなるようにうまく調整してくださいね。）

7行目　降べきの順にして出来上がり。

メインディッシュは①ｘ＾2＝ｔ②平方の差の公式を「自分でつくりだす」ことです。
類題も解いて、頑張ってください。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/21 21:15

t=x^2とおくと、

x^4 - 7x^2 + 1
=t^2 - 7t + 1
=t^2 + 2t + 1 - 9t
=(t+1)^2 - 9t
=(x^2 + 1)^2 - 9x^2
=(x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 - 3x)
=(x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)

ちなみに、質問にあるような、3次と1次の項がない4次式を複2次式という。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/07/21 19:54

a²-b²=(a+b)(a-b)を使う。

a⁴-b²なら、=(a²)²-b²=(a²+b)(a²-b)になる。

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2020/07/21 18:32

x^4-7x^2+1をx^4+2x^2+1と-9x^2で考えてごらん