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x^4-7x^2+1 の因数分解の解説お願いします。
途中式が全く理解できないです。

gooドクター

A 回答 (4件)

1行目 このような形の式(xの4乗+xの2乗+定数項)を複2次式といいます。

4次式に見えて2次式が2個潜んでいるからです。1番大事!x^2を「きちんと断ってから」tと置いてあげてください。このような問題は高い確率で記述式になりますから、前提をきちんとおいてこの文字を使うよ、と宣言してあげましょう。

2行目→3行目 複2次式の場合、ここが2番目に大事です。xの2乗(ここではtにおきかわっていますよ)を後ろでマイナスすること。これは平方の差の公式(因数分解)
x^2-a^2=(x+a)(x-a)
を後々使えるようにするためです。
一般に2乗は少々扱いにくいですから、よく出る「平方の差の公式」が使えないかな~と考えてください。

5行目 このタイミングで-9tに注目です。(わざとそうなるように設定され、そう解いているのですが)9は平方数です。(3の2乗)これはラッキーだと思ってください。
tにx^2を代入することで、9tは(3x)^2に変わり、先ほどからたくさん言っている「平方の差の公式」を使う出番になるからです。(自分で解くときはこうなるようにうまく調整してくださいね。)

7行目 降べきの順にして出来上がり。

メインディッシュは①x^2=t②平方の差の公式を「自分でつくりだす」ことです。
類題も解いて、頑張ってください。
「x^4-7x^2+1 の因数分解の解説お」の回答画像4
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t=x^2とおくと、



x^4 - 7x^2 + 1
=t^2 - 7t + 1
=t^2 + 2t + 1 - 9t
=(t+1)^2 - 9t
=(x^2 + 1)^2 - 9x^2
=(x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 - 3x)
=(x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)

ちなみに、質問にあるような、3次と1次の項がない4次式を複2次式という。
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a²-b²=(a+b)(a-b)を使う。



a⁴-b²なら、=(a²)²-b²=(a²+b)(a²-b)になる。
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x^4-7x^2+1をx^4+2x^2+1と-9x^2で考えてごらん

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