数B 数列

奇数を右の図のように並べて、上から第m行、左から第n列にある数をAm,nとおく
Am,nをｍ、ｎで表せ

という問題が分かりません。どなたか解答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/02 08:45

>上から第m行、左から第n列にある数をAm,nとおく

>Am,nをｍ、ｎで表せ
紛らわしいのでAm,nをA[m,n]と書く事にします。

ANo.1のようにA[m,n]をグループ分けして考えます。
G[1]={1}, ←1項
G[2]={3,5,7}, ←3項,項数計=1+3=4=2^2
G[3]={9,11,13,15,17},←5項,項数計=9=1+3+5=9=3^2
G[4]={19,21,23,25,27,29,31},←7項,項数計=1+3+5+7=16=4^2
G[5]={33,35,37,39,41,43,45,47,49},←9項,項数計=25=5^2
G[6]={51,53,55,57,59,61,63,65,67,69,71},11項,項数計=36=6^2
　…
G[k]はkが１増加する事に要素の項数は2ずつ増加し
G[k]の要素の項数N(G(k))=(2k-1)項
要素の項数計Σ[i=1,k] G[i]=Σ[i=1,k](2i-1)=k^2
となります。

G[k]={c[k,1],...,c[k,2k-1]}とすると

c[k,1]=2k^2-1-2(2k-2)=2k^2-4k+3
c[k,j]=2k^2-4k+3+2(j-1)=2k^2-4k+2j+1 (j=1,...,2k-1）　…（※）
c[k,2k-1]=2k^2-1
と書けます。

A[m.n]をc[k,j]を使って表すことを考えると
(m,n)と(k,j)の関係を調べる必要があります。
グループG[k]のkは、m,nにより場合分けして考える必要があります。
◆m<nのとき　k=n
このとき（※）より
A[m,n]=c[n,m]=2n^2-4n+2m+1 …（答1）

◆m≧nのとき　k=m
このとき（※）より
A[m,n]=c[m,2m-1-n+1]=c[m,2m-n]
=2m^2-4m+2(2m-n)+1
=2m^2-2n+1 …（答2）

1≦m<nのとき　（答１）, m≧n≧1のとき　（答2）
のA[m,n]となります。

No.1 回答者： QoooL 回答日時： 2014/07/02 01:00

なかなかめんどうくさい、群数列ですね。

計算自体は単純でも、日本語で書くのが面倒です。

とにかく、面倒というより教育的な理由で答えは書きません。ヒントだけ渡すので自分で解いてください。

図の色分けのような規則で並んでいるのは気付きましたか？
位置1,1から、第1群、第2群、第3群、第4群、第5群、…
と広がっていくことにしましょう。
それぞれの項数はわかりますね。（1、3、5、7、9、…）
ということは、最終項の番号は、項数の和になっているわけです。
ｎ^2
図で　Ｂ1、Ｂ4、Ｂ9、Ｂ16、Ｂ25、…　と書いた部分です。

第ｋ群について、
縦向き　赤矢印　（ｍに応じた、公差２の等差数列）と
横向き　青矢印　（右向きに見ると、（ｍ－ｎ）に応じた、公差－２の等差数列）

赤と青で向きが変わるから、その変換点の、
Ａk,k　に注目する。ピンクに塗った　Ｂ1、Ｂ3、Ｂ7、Ｂ13、Ｂ21、…
１、３、７、１３、２１、…
がどういう規則で並んでいるかはわかるでしょう。
Ｂx　を式で表せているなら、
１、５、１３、２５、４１、…
が来ることがわかります。

さて、ここで場合分けです。

、
Ｃ1、Ｃ2、…　の位置に来るのは、ｍ＝ｎ　のとき。

青矢印　になるのは、ｍ≧ｎ　のとき。
このとき第ｍ群に入っていることになります。
Ｃm　さえわかっていれば、そこから引き算で求められます。

赤矢印　になるのは、ｍ＜ｎ　のとき。
Ｃm　さえわかっていれば、そこからやはり引き算で求められます。


以上、がんばってください。