(1+ax)^5{x-(2/x)}^4 の展開式

aを実数とする。(1+ax)^5{x-(2/x)}^4 の展開式における、x^4の係数が41となるようなaの値の求め方を教えて下さい。
答えは、a=+-1 です。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/06/16 23:36

(ax+1)^5{x-(2/x)}^4

=[(ax)^5+5(ax)^4+10(ax)^3+10(ax)^2+5ax+1]
・[x^4+4x^3(-2/x)+6x^2(-2/x)^2+4x(-2/x)^3+(-2/x)^4]
=[a^5x^5+5a^4x^4+10a^3x^3+10a^2x^2+5ax+1]
・[x^4-8x^2+24-32/x^2+16/x^4]
=A・B

Bはｘの偶数乗の項しかないのでx^4が生じるのはAの偶数乗の項と掛け合わせた場合である。x^4が生じるのはAの4乗の項とBの0乗の項との積、Aの2乗の項とBの2乗の項との積、Aの0乗の項とBの4乗の項との積の3項でありそれらの合計は(120a^4-80a^2+1)x^4である。従って
　　　
　　　　120a^4-80a^2+1＝41

が条件である。上式より

　　　　3a^4-2a^2-1=0

因数分解して

　　　　(a^2-1)(3a^2+1)=0

aが実数なので

　　　　a^2-1=0

a=±1