素因数分解の問題について

高校の数学の問題なのですが、
3^240-1を素因数分解したとき２は何回現れるか、という問題があって
どうしても解き方が分かりません。
皆さんの力をお貸しください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2008/05/08 23:09

とりあえず、

3^240-1=(3^120+1)(3^120-1)=(3^120+1)(3^60+1)(3^60-1)
=・・・=(3^120+1)(3^60+1)(3^30+1)(3^15+1)(3^15-1)
と分解する。
ここで、3のべき乗に関し、3の奇数乗は4で割ると3余り、3の偶数乗
は4で割ると1余る、ということを使う。（これは帰納的に簡単に
分かるでしょう。）
これより、3の偶数乗＋1は4で割ると2余る。つまり、3の偶数乗＋1は
2では割り切れるが、4では割り切れず、したがって、素因数2を一つ
だけ持つ。
よって、3^240+1、3^60+1、3^30+1はそれぞれ、素因数2を一つだけ
もつ。
また、3の15乗については、公式、
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
を使って分解するとよい。
そして、同じように、4で割ったときの余りを考えるとよい。
割り切れなければ、2では1回しか割り切れない・・・

この回答へのお礼

丁寧な説明どうもありがとうございました。
答えは６回ということになりました。

お礼日時：2008/05/08 23:38

No.4 回答者： jo-zen 回答日時： 2008/05/08 23:23

3^240-1 = (3^120+1)(3^120-1)

= (3^120+1)(3^60+1)(3^60-1)
= (3^120+1)(3^60+1)(3^30+1)(3^30-1)
= (3^120+1)(3^60+1)(3^30+1)(3^15+1)(3^15-1)

ですから、…。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/05/08 23:17

泥臭い方法ですが

2を因数に持つ項を因数分解で根気よく括り出して行きます。

3^240-1=(3^80-1)(3^160+3^80+1)
=(3^40-1)(3^40+1)(3^160+3^80+1)
=(3^20-1)(3^20+1)(3^40+1)(3^160+3^80+1)
=(3^10-1)(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^160+3^80+1)
=(3^5-1)(3^5+1)(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^160+3^80+1)
=(3-1)(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^5+1)(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^160+3^80+1)
=2(3^5+1)(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2*244*(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^3*61*(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^3*(3^10+1)(3^20+1)(3^40+1)*61*(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^3*(3^2+1)(3^8-3^6+3^4-3^2+1)
*(3^4+1)(3^16-3^12+3^8-3^4+1)
*(3^8+1)(3^32-3^24+3^16-3^8+1)
*61*(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^3*10*82*(3^8+1)
*(3^8-3^6+3^4-3^2+1)(3^16-3^12+3^8-3^4+1)(3^32-3^24+3^16-3^8+1)
*61*(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^3*10*82*6562
*(3^8-3^6+3^4-3^2+1)(3^16-3^12+3^8-3^4+1)(3^32-3^24+3^16-3^8+1)
*61*(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
=2^6*5*41*3281*61
*(3^8-3^6+3^4-3^2+1)(3^16-3^12+3^8-3^4+1)(3^32-3^24+3^16-3^8+1)
*(3^4+3^3+3^2+3+1)(3^160+3^80+1)
後の()の項は奇数の奇数個の和と差の項だけであるからすべて奇数

後は分かりますね。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/08 23:02

3^240 = (1+2)^240 = 1 + 240 * 2 + …