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初項が80、公差が-3の等差数列の初項から第n項までの和が最大となるのは、n=○○のときで、その和は○○○○である。

この問題を教えて下さい。
宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

等差数列の和の公式に当てはめて、


S=(n/2)・{2・80-3(n-1)}=(n/2)・(-3n+163)=-3n^2/2+163n/2
平方完成すると、n=163/6=27.1......のときに最大値を取る。
nは自然数なのでn=27のときに最大値を取る。
このときのS=-(3/2)・27^2+163・27/2=1107
かな?
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初項をa、公差をdとすると等差数列の一般項anは、


an=a+(n-1)d
初項から第n項までの和Snは、
Sn=n(a+an)/2(初項と末項を足してn/2を掛けると覚えておくとよい)
使うのはこの2つの公式。

初項が80、公差が-3の一般項anは、
an=80-3(n-1)=-3n+83

この数列は初項80から-3ずつ小さくなっていく数列である。
そしてある第?項から後はずっとマイナスになる。

だから初項から第n項までの和が最大になるのは、一般項anが正の数
である項までをすべて足し合わせたものになる。

それでは第何項までがanが正の数かを求める。
an=-3n+83>0
n<83/3
n<27.6・・・
nは項数を表すので自然数。
よって第27項までが正の数ということになる。

ゆえに、初項から第27項までの和が最大となる。
S27=27(a+a27)/2
=27{80-3*27+83)/2
=1107

別解)
一般項an=-3n+83
Sn=n(a+an)/2=n(80-3n+83)/2=-3/2(n-163/6)^2+3/2*(163/6)^2
Snはnの2次関数になる。頂点(163/6,3/2*(163/6)^2)の上に凸のグラフ。
よってn=163/6=27.1・・・のときSnは最大になる。
nは自然数なのでn=27のときSnは最大になる。
よって、S27=1107
2次関数に馴染んでいればこちらでもいいですけど、計算がちょっとめんどくさいので、
最初の解法をお勧めします。
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80/3+1 を切り捨てれば 27.

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