デルタ関数

デルタ関数δ(x)は
exp(ikx)をkについて-∞から+∞まで積分したものとして
書けるらしいですが、
これって収束性とかどうやって厳密化されているのですか？
参考文献やキーワードだけでもけっこうですので教えていただけますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2011/01/08 07:07

> exp(ikx)をkについて-∞から+∞まで積分したものとして


書けないです。この積分は普通の意味では収束しない。なもんで、δ(x)は関数じゃなくて「超関数」です。
　超関数は物理学で発案されたもので、最初は、「実際計算に便利なんだから細かいことはま、いいじゃん」的なイーカゲンな概念でした。後にその数学的な基礎付けがなされたわけですけれども、定義の仕方にはいろいろな流儀(distribution, generalized function, 佐藤の超関数)があります。ですから、超関数論のテキストを漁る場合、どの流儀なのかチェックしとく必要があります。
　で、ご質問の文脈から察するに、この場合ガウス関数
g(a,k) = exp(-a(k^2))
の逆フーリエ変換
G(a,x) = ∫{-∞～∞}g(a,k)exp(ikx) dk
を考える。a＞0のときガウス関数はk→±∞ で急激に0に近づくので積分は収束してくれて、G(a,x)もまたガウス関数になります。このG(a,x)について、a→+0の極限がδ(x)であるという風に考える。
　でも、この極限は関数としては存在しない。なので、飽くまで関数の範囲でδ関数を捉えようとするのであれば
「 ∫{-∞～∞}g(a,x)exp(ikx) dk において、aを+0に近づける」
という(終わらない)プロセスそのもののことを(a→+0でg(a,k)→1になるから)
∫{-∞～∞}exp(ikx) dk = δ(x)
と「形式的に」書き表したものだ、と思えば宜しいかと。つまりδ関数は１つの関数ではなく、aが異なる無数の関数G(a,x)の集合、ってことです。
　もう一歩進んで考えますと、「そういう書き表し方が妥当だというからには、何もガウス関数に限らなくたって、a→+0でg(a,k)→1になるような関数の集合{g(a,k)| a>0}であって、しかもa＞0のときに積分G(a,x)が必ず収束するものでありさえすれば、どんなg(a,k)を持ってきても良いんでしょうか？」ってことになる訳で、さて、本当にそれで良いのかどうか（どんなg(a,k)を持ってきてもa→+0で同じモノδ(x)に行き着けるのかどうか）を検討する必要がある。ここから先は、ですから、超関数論を勉強なさるべきです。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/01/09 05:23

∫_{-∞～∞}e^{ikx}dk=lim_{t→∞}{2sin(tx)}/x

は,-∞<x<∞で、収束しないので、デルタ関数ではありません。

C=(全複素数)
R=(全実数)
N=(全自然数)
n∈Nに対して,
δ_n:R→R
関数列(δ_n)_{n∈N}に対して
x≠0→lim_{n→∞}δ_n(x)=0
∫_{-∞～∞}δ_n(x)=1
任意な複素数値可積関数g:R→Cに対して,
lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}g(x)δ_n(x)dx=g(0)
となるとき、
(δ_n)_{n∈N}
をデルタ関数という。
デルタ関数は1点で収束しないが、
デルタ関数の積分は収束する。

n∈Nに対して,
δ_n:R→R
0≦x≦1/n→δ_n(x)=n
x<0又はx>1/n→δ_n(x)=0
と定義される関数列(δ_n)_{n∈N}に対して
x≠0→lim_{n→∞}δ_n(x)=0
∫_{-∞～∞}δ_n(x)=1
任意な複素数値可積関数g:R→Cに対して,
lim_{n→∞}∫_{-∞～∞}g(x)δ_n(x)dx
=lim_{n→∞}n∫_{0～1/n}g(x)dx
=g(0)
lim_{n→∞}δ_n(0)=∞
となる。