『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

こんにちは。微分方程式で分からない問題があります。

y=(dx/dy)x+4(dx/dy)^2

という問題がわからなくて困っています。

自分が微分方程式を解くときは完全にパターンで解いているのですがその中で(dx/dy)^2というものは見たことがありません。

右辺の二項目が「d^2y/dx^2」なら二階微分方程式に当てはめれば解けるのですが、「(dx/dy)^2」と「d^2y/dx^2」は違うものですよね?(まず、違うということが正しいのかが微妙です)では、この場合はどうやって解けばいいのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

dx/dyがdy/dxの書き間違いだという前提でお答えします。



(dy/dx)^2とは、yをxで微分したものを2乗したものです。
たとえばy=x^2+xとすると
dy/dx=2x+1
(dy/dx)^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1
ということです。

y=(dy/dx)x+4(dy/dx)^2
この微分方程式は両辺をxで微分してみると良いでしょう。
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この回答へのお礼

すみません。おっしゃる通り、書き間違えです。

なるほど!二階微分とは違うのですね。
xで両辺を微分すればいいのですね。確かにdy/dxをある変数としたら一階微分方程式の形に持っていけそうです。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/17 23:23

>y=(dx/dy)x+4(dx/dy)^2



y=(dy/dx)x+4(dy/dx)^2

ではありませんか。

独立変数はxですかyですか。

この回答への補足

すみません、書き間違えです。
y=(dy/dx)x+4(dy/dx)^2が正しいです。

補足日時:2011/06/17 22:05
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両辺積分して
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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

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A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
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|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
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まず
与式=
|1-t -1|
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サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
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(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
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A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q非線形微分方程式の問題です

非線形微分方程式について質問です。
とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。
y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2
この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。
非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。

私はこの問を解けませんでした。
解くことは可能なのでしょうか。
お願いします。

Aベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味がない
(定石)
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をxで微分して(pの微分方程式にして)
pを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=f(p、y)のときはyで微分する(1/pとすれば上とおなじ)
などなど
>非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた(解くことができる)有名な”非線形の”方程式が出る。
(とおもう)

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qp=dy/dxを使った微分方程式

[p=dy/dxとして、
(1)
y=2xp+p  解:4(y+x)^3=(2x^3+3xy+c)^2 特殊解:y=0
(2)
xy=p+x 解:y=1+ce^(x^2/2) 特殊解=?
の解き方が思いつきません。
xで微分したり、yで微分したりしましたが解くことができません。
どなたか考え方教えていただけませんか?

Aベストアンサー

 #2です。
>y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2 でした。すいません

 (1)は問題が違ったのですね。(どおりで複雑な一般解だと思いました。)
 この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
 方針としては、両辺をxで微分してxをpの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形)に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。

1)与えられた微分方程式をxで微分。
  y=2xp+p^2 ・・・・・・・・・・(A)
 ⇒p=2p+2xp'+2pp'  ←両辺をxで微分。
 ⇔p=-2(x+p)p'
 ⇔p+2(x+p)dp/dx=0
 ⇔dx/dp+2x/p=-2 ・・・・・・・・(B); ←同次形に帰着。
2)式(B)の同次形微分方程式を解くため、x=puとおく。←(同次形の常套手段)
  x=pu ∴dx/dp=u+p・du/dp ・・・・(C)
 式(C)を式(B)に代入すると、
  u+p・du/dp+2u=-2
 ⇔p・du/dp=-(3u+2)
 ⇔dp/p=-du/(3u+2)
 ⇒log|p|=-1/3 log|3u+2|+C、C:積分定数 ←両辺を積分。
 ⇔p=c/(3u+2)^(1/3)、 C':積分定数 ←両辺の対数を外し、CをC'に置き換え。
 ∴(3u+2)p^3=c、 c:積分定数 ←C'をcに置き換え。
 ここで、u=x/pなので、
  (3x+2p)p^2=c  ・・・・・・・・・(D)
 これで、xとpの一般解が求められました。
 次に、これをxとyの一般解に直します。
3)式(A)と式(D)を連立してxとyだけの式にする。
 式(D)を変形して、
  (3xp+2p^2)p=c
 ⇔{2(2xp+p^2)-xp}p=c  ←式(A)の右辺にあわせて変形。
 これと式(A)を連立して、
  (2y-xp)p=c  ・・・・・・・・・・(E)
 ここで式(A)から
  p^2+2xp-y=0
 ∴p=-x±√(y+x^2)  ・・・・・・・・(F)  ←2次方程式の解の公式
 式(F)を式(E)に代入してpを完全に消去し、xとyだけの式にする。
  [2y-x{-x±√(y+x^2)}]{-x±√(y+x^2)}=c
 ⇔-(2x^3+3xy)±2(y+x^2)√(y+x^2)=c^2  ←左辺を展開して整理。
 ⇔±2(y+x^2)√(y+x^2)=2x^3+3xy+c^2
 ∴4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c^2)^2  ←両辺を2乗。

 これで、求める一般解が得られました。
 なお、特殊解については、C=0のときのy=0になっています。

 #2です。
>y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2 でした。すいません

 (1)は問題が違ったのですね。(どおりで複雑な一般解だと思いました。)
 この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
 方針としては、両辺をxで微分してxをpの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形)に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。

1)与えられた微分方程式をxで微分。
  y=2xp+p^2 ・・・・...続きを読む

Q微分記号(dy/dx)について質問です。

微分記号(dy/dx)について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)

y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか?

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、(右辺→左辺と見れば)置換積分の公式そのものです。


>あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。


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