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微分方程式の解法

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  • 質問者：thjki6624
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

こんにちは。微分方程式で分からない問題があります。

ｙ＝(dx/dy)x+4(dx/dy)^2

という問題がわからなくて困っています。

自分が微分方程式を解くときは完全にパターンで解いているのですがその中で(dx/dy)^2というものは見たことがありません。

右辺の二項目が「d^2y/dx^2」なら二階微分方程式に当てはめれば解けるのですが、「(dx/dy)^2」と「d^2y/dx^2」は違うものですよね？（まず、違うということが正しいのかが微妙です）では、この場合はどうやって解けばいいのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： rnakamra
  • 回答日時：

dx/dyがdy/dxの書き間違いだという前提でお答えします。



(dy/dx)^2とは、yをxで微分したものを2乗したものです。
たとえばy=x^2+xとすると
dy/dx=2x+1
(dy/dx)^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1
ということです。

y=(dy/dx)x+4(dy/dx)^2
この微分方程式は両辺をxで微分してみると良いでしょう。
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この回答へのお礼

すみません。おっしゃる通り、書き間違えです。

なるほど！二階微分とは違うのですね。
xで両辺を微分すればいいのですね。確かにdy/dxをある変数としたら一階微分方程式の形に持っていけそうです。

ありがとうございました。

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お礼日時：2011/06/17 23:23

No.1

  • 回答者： spring135
  • 回答日時：

>ｙ＝(dx/dy)x+4(dx/dy)^2



ｙ＝(dy/dx)x+4(dy/dx)^2

ではありませんか。

独立変数はxですかyですか。

この回答への補足

すみません、書き間違えです。
ｙ＝(dy/dx)x+4(dy/dx)^2が正しいです。

補足日時：2011/06/17 22:05
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Ａ=
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|4 -3|
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（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
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わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
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お願いします。

Aベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足）まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数）
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？）

＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数）
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数）
が出てこない一般の場合は、意味がない
（定石）
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をｘで微分して（ｐの微分方程式にして）
ｐを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=ｆ（p、y)のときはｙで微分する（1/pとすれば上とおなじ）
などなど
＞非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた（解くことができる）有名な”非線形の”方程式が出る。
（とおもう）

a^2y=ax+4
(補足）まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数）
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？）

＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数）
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数）
が出てこない一般の場合は、意味...続きを読む

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
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S 1/x^2 dx
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Aベストアンサー

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また、微分で
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つまり、
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ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

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(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
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（３）
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（４）
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（２）
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＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

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Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか？
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する５２の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます！

参考URL：http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

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Qp=dy/dxを使った微分方程式

[p=dy/dxとして、
(1)
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(2)
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の解き方が思いつきません。
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どなたか考え方教えていただけませんか？

Aベストアンサー

　＃２です。
＞y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2　でした。すいません

　(1)は問題が違ったのですね。（どおりで複雑な一般解だと思いました。）
　この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
　方針としては、両辺をｘで微分してｘをｐの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形）に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。

１）与えられた微分方程式をｘで微分。
　　y＝2xp+p^2　・・・・・・・・・・（A)
　⇒p＝2p+2xp'+2pp'　　←両辺をｘで微分。
　⇔p＝-2(x+p)p'
　⇔p+2(x+p)dp/dx＝0
　⇔dx/dp+2x/p＝-2　・・・・・・・・（B)；　←同次形に帰着。
２）式(B)の同次形微分方程式を解くため、x＝puとおく。←（同次形の常套手段)
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　式（C)を式（B)に代入すると、
　　u+p・du/dp+2u＝-2
　⇔p・du/dp＝-(3u+2)
　⇔dp/p＝-du/(3u+2)
　⇒log|p|＝-1/3 log|3u+2|+C、C:積分定数　←両辺を積分。
　⇔p＝c/(3u+2)^(1/3)、　C':積分定数　←両辺の対数を外し、CをC'に置き換え。
　∴(3u+2)p^3＝c、　c：積分定数　←C'をcに置き換え。
　ここで、u=x/pなので、
　　(3x+2p)p^2＝c　　・・・・・・・・・（D)
　これで、xとpの一般解が求められました。
　次に、これをxとyの一般解に直します。
３）式(A)と式(D)を連立してxとyだけの式にする。
　式（D)を変形して、
　　(3xp+2p^2)p＝c
　⇔{2(2xp+p^2)-xp}p＝c　　←式（A)の右辺にあわせて変形。
　これと式（A)を連立して、
　　(2y-xp)p＝c　　・・・・・・・・・・（E)
　ここで式（A)から
　　p^2+2xp-y＝0
　∴p＝-x±√(y+x^2)　　・・・・・・・・（F)　　←2次方程式の解の公式
　式（F)を式（E)に代入してpを完全に消去し、xとyだけの式にする。
　　[2y-x{-x±√(y+x^2)}]{-x±√(y+x^2)}＝c
　⇔-(2x^3+3xy)±2(y+x^2)√(y+x^2)＝c^2　　←左辺を展開して整理。
　⇔±2(y+x^2)√(y+x^2)＝2x^3+3xy+c^2
　∴4(y+x^2)^3＝(2x^3+3xy+c^2)^2　　←両辺を2乗。

　これで、求める一般解が得られました。
　なお、特殊解については、C=0のときのｙ＝０になっています。

　＃２です。
＞y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2　でした。すいません

　(1)は問題が違ったのですね。（どおりで複雑な一般解だと思いました。）
　この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
　方針としては、両辺をｘで微分してｘをｐの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形）に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。

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∫(dy/dx)dx = ∫dy
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＞あたかも普通の数字や文字であるかのように計算（約分）できるのはどうしてですか？
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