y=ax^2が満たす微分方程式を解こうとすると

y=ax^2という関数を考えます。それを微分すると
y’=2ax
となりますが、両辺を2乗すると、
(y’)^2=4a^2*x^2
つまり、
(y’)^2=4ay
という微分方程式が導き出せます。では、逆に最後の微分方程式を解こうとするとどう変形できるのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/16 10:18

(y’)^2=4ay において、p=y’と置きます。

p^2=4ay
2pp'=4ap

(1)　y'=p=0のとき、
y=c (定数)

(y')^2=0^2=0
y=c を元の式に代入すると
0=4ac
a≠0の場合、c=0 で、y=c
a=0の場合、y=0

(2)　y'≠0のとき、
p'=2a、つまり、y''=2a
y'=2ax+C_1
y=ax^2+C_1・x+C_2 （C_1、C_2は定数）

(y')^2=(2ax+C_1)^2=4a^2x^2+4a・C_1・x+C_1^2

これを元の微分方程式に代入すると、
4ay=4a・(ax^2+C_1・x+C_2)
=4a^2x^2+4a・C_1・x+4a・C_2

(y’)^2=4ay なので、C_1^2=4a・C_2
∴　y=ax^2+C_1・x+C_1^2
（1）の場合もこれに含まれる。


y=ax^2 から微分方程式を作りましたが、
その微分方程式を解いた結果は、元の式に
戻りません。微分する段階で、定数項が消えた
からです。その分が積分定数として不定で残ります。

この回答へのお礼

よくわかりました。すばらしい回答に感謝いたします。

お礼日時：2007/11/16 11:01

No.4 回答者： info22 回答日時： 2007/11/16 10:56

簡単のためにy>0,a>0とします。

（a=0は無意味なので、a≠0。
　a<0の時はy≦0ですからa→-a,y→-yと置き換えてyについて解き、
　最後にa,yを元に戻せはいいでしょう。）
変形して
(1/2)y'/y^(1/2)=a^(1/2)
積分して
y^(1/2)=(a^(1/2))x
二乗して
y=ax^2 +C
（積分定数Cは微分方程式の境界（初期）条件で与えないと決まらないですね。「x=0のときy=0」とか「x=1のとき,y=a」などと与えておきます。）

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/16 10:39

(y’)^2=4ay

dx/dy=±1/2・1/√a・y^(-1/2)
x=±1/√a・y^(1/2)
√a(x+c)=±y^(1/2)
y=a(x+c)^2

この回答へのお礼

よくわかりました。すばらしい回答に感謝いたします。

お礼日時：2007/11/16 11:02

No.2 回答者： N64 回答日時： 2007/11/16 10:25

(dy/dx)=(+-)2*root(a)*root(y)

(dx/dy)=(+-)y^(-1/2)/(2*root(a))
これを解けば、y=(+-)x^2+C

この回答へのお礼

よくわかりました。すばらしい回答に感謝いたします。

お礼日時：2007/11/16 11:02