ドモアブルの定理

ドモアブルの定理は(cosθ+isinθ)^n=(cosnθ+isinnθ)でありθは複素数の横軸とのなす角ですが

(cosθ-isinθ)^n=(cosnθ-isinnθ) (nは奇数)
(cosθ-isinθ)^n=(cosnθ-isinnθ) (nは偶数)

(sinθ+icosθ)^n=(sinnθ+icosnθ) (nは奇数)
(sinθ+icosθ)^n=(sinnθ+icosnθ) (nは偶数)

(sinθ-icosθ)^n=(sinnθ-icosnθ) (nは奇数)
(sinθ-icosθ)^n=(sinnθ-icosnθ) (nは偶数)

この中で成り立つものはありますか。またそれぞれの式のθはどこの角を表していますか。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/01 19:20

cosθ±isinθ=e^(±iθ)

(cosθ±isinθ)^n=e^(±iθn)=(cosnθ±isinnθ)

以上は少なくとも整数nについて成り立つので偶数、奇数によらず成り立つ。


sinθ±icosθ=cos(π/2-θ)±isin(π/2-θ)=e^(±(π/2-θ))

(sinθ±icosθ)^n=(cos(π/2-θ)±isin(π/2-θ))^n=e^(±(π/2-θ)n)
=cos[(π/2-θ)n]±isin[(π/2-θ)n]
=sin[π/2-(π/2-θ)n]±icos[π/2-(π/2-θ)n]
=sin[nθ-(n-1)π/2]±icos[nθ-(n-1)π/2]

=sin(nθ)±icos(nθ)

となるには任意の整数mに対して

-(n-1)π/2＝2ｍπ

ならばよい。

これより

n=1-4m (m=0, ±1, ±2,...)

このようなnに対して成り立つことは確か。他にあるかどうかは不明。ドモアブルの定理はcos と sinが対になっている式なので多分ないと思う。

この回答へのお礼

ありがとうございました。しかしrinkun様によれば４の倍数ですが、spring135様の意見では４の倍数ではないのですね。
どちらが正しいのでしょうか。

お礼日時：2015/12/01 19:32

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2015/12/01 12:49

Ano.1のお礼

> しかし何故４の倍数だけなのでしょうか。
等式が成り立つにはi^n=1が必要だから。

この回答へのお礼

ありがとうございました。素早い回答で大変助かりました。

お礼日時：2015/12/01 19:26

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2015/12/01 06:51

> (cosθ-isinθ)^n=(cosnθ-isinnθ)

成り立つ。ドモアブルの定理のθに-θを代入すれば出る。

> (sinθ+icosθ)^n=(sinnθ+icosnθ)
左辺 = i^n (cosθ-isinθ)^n = i^n (cosnθ-isinnθ)
nが4の倍数の時だけ成り立つかな。

> (sinθ-icosθ)^n=(sinnθ-icosnθ)
上と同様に考えると・・・

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。しかし何故４の倍数だけなのでしょうか。なんとなくしかわかりません。

インターネット上を探しても分からなかったので質問しましたが解答がつき安心しました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2015/12/01 12:35