三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいので

三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいのですがどうやって微分すればよいですか?いま独学で三角関数勉強してやってみたところ、xを微分したらAcos(ωt)になってしまいました( ノД`)…微分の途中式を教えていただけると助かります。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/16 12:31

xをｔで微分すると

v=dx/dt=(Asinωt)'
(sint)'なら公式になっているので簡単にわかるが、sinωtみたいに余分なもの(ω)があるとわからない。
こういう時は置き換えで！
u=ωtとおくと
du/dt=(ωt)'=ω←←←ωは定数だから (ax)'＝aの微分と同じ感覚で(ωt)'=ω　ただし、(ωt)'はtでの微分、 (ax)'はｘで微分
x=Asinu
そして、dx/du=(Asinu)'=Acosu 　←←←公式(sinx)'=cosxの文字ｘがuになったもの
だから、重要定理:dx/dt=(dx/du)(du/dt)を用いると　←←←合成関数の微分法
v=dx/dt=(dx/du)(du/dt)=(Acosu)(ω)
uを元に戻せばv=Acos(ωt)・ω=Aωcosωt
と微分出来ます

ショートカットするなら以下の例に倣います
例:
{(2x+1)³}'=(d/dx)(2x+1)³=3(2x+1)²・(2x+1)'=3(2x+1)²・2＝=6(2x+1)²
これは、(～)³の微分では、先ず(x³)'=3x²と同様に3(～)²として、さらに()内の式：2x+1の導関数（微分した式）を掛け算する　と言うやりかたです

別の式でも、同じ要領で微分できて
(3x²+x)⁴の微分なら()⁴の微分で4(3x²+x)³、さらに（）中身の微分を付け加えて
{(3x²+x)⁴}'=4(3x²+x)³・(3x²+x)'=4(3x²+x)³(6x+1)です。

sinωtの微分も同じ要領で
sin(～)の微分はcos(～)、更に()内の式の微分を付け加えます→(sin(～))'=cos(～)ｘ()内の微分
この要領でsinωtの微分なら
(sinωt)'=(cosωt)x(ωt)’　=(cosωt)x(ω)=ωcosωt
Asinωtなら
A(sinωt)'=A(cosωt)x(ωt)’　=A(cosωt)x(ω)=Aωcosωtです

v=Aωcosωtをｔで微分する場合も同じ要領で
u=ωtとおけば
du/dt=ω
v=Aωcosu
dv/du=Aω(-sinu)
定理：dv/dt=(dv/du)(du/dt)より
a=dv/dt={Aω(-sinu)}・(ω)=-Aω²sinωt

置き換えに頼らないでやるなら
cos(～)の微分は-sin(～)、更に()内の式の微分を付け加えて→(cos(～))'=-sin(～)ｘ()内の微分
ということで
(cosωt)'=(-sinωt)x(ωt)'=-ωsinωt
係数Aωまで考えれば
a=dv/dt=Aω(cosωt)'=Aω(-sinωt)x(ωt)'=-Aω²sinωt

この回答へのお礼

丁寧でとても分かりやすかったです！回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/07/17 22:14

No.6 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/07/17 17:19

すみません。

乗っかってませんでした。

この回答へのお礼

はい!ありがとうございました！

お礼日時：2019/07/17 23:38

No.5 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/07/17 17:17

同様に

No.4 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/07/17 15:57

独学で勉強中ならば、この回答でどうでしょうか？

この回答へのお礼

これは...微分の定義に基づいて計算してくれたんですね!でも面倒なので公式使おうと思います(笑)。ですがとてもいい勉強になりました!!ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/17 22:17

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/16 10:11

＞三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいのですが

それは「数学」というよりも「物理」の話です。
「位置（座標）」の時間変化率が「速度」で、「速度」の時間変化率が「加速度」です。

時間変化率（時間の変化に対するその物理量の変化）なので「時間 t で微分する」のです。

あなたの習った「三角関数の微分」は sin(x), cos(x) を「x で微分」する
　d[sin(x)]/dx = cos(x)
　d[cos(x)]/dx = -sin(x)
ですね。

お示しの場合には、 sin(ωt), cos(ωt) を「t で微分」するものですね。
つまり、上の公式と対応させれば
　x = ωt　　　　①
であり、従って
　dx/dt = ω
という関係です。

公式の「x」が①のような「t の関数」ですから、#1 さんのとおり「合成関数の微分」ということになるのです。

上の「公式の x」と紛らわしいので、お示しの画像の「x」を大文字で書くことにすれば
　X = A･sin(ωt)
これを上の①のように
　　x = ωt　　　　①
と書けば
　X = A･sin(x)
ですから、これを「x で微分」すれば、確かに
　dX/dx = A･cos(x)
です。
でも、ここでは「時間 t で微分：dX/dt」したいのです。

ということで、「合成関数の微分」で
　dX/dt = (dX/dx)･(dx/dt) 　　　　　②
を使います。
上のように
　dX/dx = A･cos(x)
だし、①から
　dx/dt = ω
なので、②の結果は
　dX/dt = (dX/dx)･(dx/dt)
　　　　= A･cos(x)･ω
　　　　= Aω･cos(x) 　　　　←単に順序を入れ替え
　　　　= Aω･cos(ωt) 　　　　←x = ωt を元に戻した
となります。
これが
　v = dX/dt = Aω･cos(ωt)
です。

v → a も同様です。これも
　x = ωt　　　　①
とおいて
　a = dv/dt = (dv/dx)･(dx/dt)
で求めてみてください。


微分では、「何で微分するか」（何に対する変化率を求めたいか）をきちんと意識することが重要です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！時間tで微分してるということが大切なんですね!!

お礼日時：2019/07/17 22:12

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/07/15 22:48

合成関数の微分

dy/dx=dy/dz・dz/dx
を使います。

x=Asinωt
dx/dt=dx/dωt・dωt/dt
=Acosωt・ω
=Aωcosωt=v

同様に
v=Aωcosωt
dv/dt=Aω(-sinωt)ω
=-Aω²sinωt=α
となります。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました!

お礼日時：2019/07/17 22:11