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位相がよく分かりません。
cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れってあるサイトに書いてあったんですけど、それぞれをグラフで書くとcosの方が進んでないですか?

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A 回答 (10件)

#3 です。

あらら、なんか不穏な雰囲気になっていますね。

そもそもの質問が、何のどんなものを対象に
「cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れってあるサイトに書いてあった」
といっているのかが不明確なので、いろいろな見方がされているのだと思います。

(1) たとえば、交流回路などで
「コンデンサの電圧は、電流よりも位相が 90° 遅れる」「コイルの電圧は電流よりも位相が 90° 進む」
といった場合の「位相」は、同じ時刻の「波形のズレの大きさ」のことです。より一般的には「位相差」と呼ぶと思います。
そのときには
 (sinωt)' = ωcosωt = ωsin(ωt + π/2)
なので、「cos の波形の方が、sin の波形よりも π/2 だけ進んでいる」ということになります。
(ここでいう「進み」は、#3 に書いた「t-y グラフで時間が進むこと、つまり波形を左にシフトさせること」に相当します)

(2) ただし、一般に「位相」といった場合には、#2 さんが
「周期関数cos(ω₁t+a),sin(ω₂t+b)の(ω₁t+a),(ω₂t+b)を位相といいます。」
と書かれているように、三角関数の「角度」に相当する部分そのものを指します。
その場合には、#7 に書かれているように
「cos(ωt)の位相とsin(ωt)の位相は直接比較できません。位相差は常に
ωtーωt=0です。」
ということになります。

この場合には、#1 さんが書かれているように
 cosωt = sin(ωt + π/2)   ①
となりますが、これは「波形が重なり合うときの位相(角度)はいくつか」という議論であって、上の「波形のずれ」(位相差)とは意味が異なります。

①と sinωt の「位相」どうしを比べれば「ωt + π/2」と「ωt」ですから、どちらを基準に何をもって「進む、遅れる」と呼ぶかをきちんと定義しなければ意味をなしません。
なぜなら、#3 にも書いたように(書き方をがおかしかったので下記の通り訂正します)、cos の波形(振幅)が sin(ω*ts) と一致するときを t=tc とすれば
 cos(ω*tc) = sin(ω*ts)   ②
であって、
 cos(ω*tc) = sin(ω*tc + π/2)
なので、②は
 sin(ω*tc + π/2) = sin(ω*ts)
という関係になり、 tc と ts は
 ts = tc + π/2ω
つまり
 tc = ts - π/2ω
となります。
「時刻 tc は、ts よりも π/2ω だけ小さい」つまり「時刻 tc は ts より π/2ω だけ遅れている」という言い方になると思います。


上の(1) は
「同じ時間に、波形がどれだけズレているか」
という議論であり、
下の(2) は
「同じ波形になるときに、時間がどれだけズレているか」
という議論です。
このどちらを議論するのかを明確にしなければ、議論がかみ合いません。
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電気回路では


基準となる正弦波 sinωt に対して、正弦波sin(ωt + θ) は
「位相がθ進んでいる(-θ遅れている)」と表現するのが普通。
但し -π < θ < π

誘導負荷の電流は遅れ、容量負荷の電流は進みですね。

cosωt は sin(ωt+π/2)=sin(ωt-3π/2)
だから進みです。工場の電流の遅れ進み計
とかもこの流儀

「遅れている 」と呼ぶ場合あるかな?
ちょっと思いつかない。
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もう何も言うことはありません。

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cos(ωt)の位相とsin(ωt)の位相は直接比較できません。

位相差は常に
ωtーωt=0です。sinカーブまたはcosカーブ同士で位相差を求めます。
sinカーブで比較すれば、sin(ωt+π/2)(基準)とsin(ωt)(比較)に対して ですので ωtー(ωt+π/2)=ーπ/2(90°の遅れ)
cosカーブで比較すれば、cos(ωt)(基準)とcos(ωt-π/2)(比較)に対して ですので ωt-π/2ーωt=ーπ/2(90°の遅れ)
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「cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れって・・・」


という日本語が理解できませんか?
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フグさん、お言葉ですが


 位相差=比較したい位相ー基準の位相
cos(ωt)はsin(ωt)に対して ですので、言い換えれば
sin(ωt+π/2)(基準)はsin(ωt)(比較)に対して ですので
ωtー(ωt+π/2)=ーπ/2 ではありませんか?
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#1さんの「進む」で終わっています。



#2さんは sinを基準にするなら
 (ωt+π/2)-ωt=π/2
である。ただ、この差が進み・遅れとの関係が不明。

#3さんは遅れると言っているようだが(ごちゃごちゃだらだらと読
む気にならない)、参照しているサイトでは進むと言っている?
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「位相」とか「位相差」の呼び方って、頭が混乱しますよね?



これは「波の波形」のグラフの表し方である
・x-y グラフ(空間を進む波の空間配置)

・t-y グラフ(ある空間上の点における振幅の時間変化)
が「ごちゃごちゃ」になるからです。

x-y グラフでは、横軸(x 軸)は座標で、一般に波は「左から右に」進むように書きますから、グラフの「右の方」は、昔原点を通過した「過去の揺れ」を表わしています。
今「原点」にある揺れが、一定時間後に右の「x座標」に位置に進みますが、グラフ自体は「今現在の瞬間」を表していますから、そこに書かれている「右の方の波」は「過去に原点を通った波の、今の位置」になります。

それに対して、t-y グラフでは、横軸(t 軸)は時間で、一般に時間は「左から右に」進みますから、グラフの「右の方」は、これからの波の揺れ、つまり「未来」を表わしています。
「今現在」が原点で、右の方は「これから○秒経ったらこういう揺れになる」ということを示します。
つまり、t-y グラフでは、時間が進むにつれて「座標軸が右に移動していく」ということになり、座標軸を固定して時間を進めると波は「右→左」に進んで行くように見えるのです。

「位相」というのは、このうち「t-y グラフ」で表した横軸を指し、「位相差」はその差を言います。
上に書いたように、
・右側が「未来」
・左側が「過去」
を指します。
「進み」「遅れ」とは、時間の流れの「先」か「後」か、ということであり、
・「未来」に同じ状態になるのは「遅れ」
・「過去」に同じ状態だったのは「進み」
ということになります。

ということは、「t-y グラフで右にあるもの」は「遅れ」なのです。

#1 さんの書き方をすれば
 cos(ω*tc) = sin(ω*ts)
という関係になる(同じ振幅になる) tc と ts は
 ts = tc + θ/ω
つまり
 tc = ts - θ/ω
になるので、「tc は、ts よりも θ/ω だけ小さい」つまり「tc は ts より θ/ω だけ遅れている」ということです。

分かりにくいですが、たとえばこんなサイトを見てください。

https://hegtel.com/iso.html
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周期関数cos(ω₁t+a),sin(ω₂t+b)の(ω₁t+a),(ω₂t+b)を位相といいます。


cos(ωt)、sin(ωt)の場合
cos(ωt)=sin(ωt+π/2)から
位相差はsin(ωt)とsin(ωt+π/2)の位相差
ωtー(ωt+π/2)=ーπ/2
90°遅れているといいます。
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cos(ωt)=sin(ωt+π/2)なので、cos(ωt)はsin(ωt)よりπ/2進んでいます。

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