定積分の応用
あるサイトで見た問題の解き方ですが,
∫[0→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx + ∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
ここで右側の∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dxを
= ∫[0→π/4] sin(π/2 -x) / (sin(π/2 -x) + cos(π/2 -x)) dx としていました.
質問ですが
x をπ/2 - xに置き換える,というようなことはしても良いのでしょうか?
普通ならt = π/2 -xにして違う文字に置き換えますよね…?
(t = … で計算したら答えにたどりつけませんでした)
答えは
∫[0→π/4] 1 dx = π/4
になっていました.
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
>「tを再度 xに戻して」もいいんですよね?
>ここでなぜかひっかかってしまいます…
>一番最初のxと「「tを再度 xに戻した」後のxが同じじゃないように思います…
確かに、気持ち悪いですよね。
xや tは、ただ単に被積分関数を表す変数だと認識すればよいのですが・・・
少し乱暴な表現ですが、言い方を変えれば、
定積分:∫f(x) dx 自体は xの関数ではなく、ただの定数ですよね。
そして、いまの問題では、
∫f(x) dx + ∫g(t) dt
の形になっていますが、第 1項も 第 2項もただの定数です。
そして、単にそれぞれの被積分関数が xや tで表されている。これだけのことです。
第 2項の変形により積分区間が合わせられているので、単純に文字を「置き直して」計算をしていることになります。
「xが、tが」というよりも、f(なんとか)、g(なんとか)と表される関数が 0≦ (なんとか)≦ π/4の範囲で積分されている。
ぐらいにとらえれば、文字自身はどうでもいいってことになるのですが。^^;
No.6
- 回答日時:
t = π/2 - x と置き換えた後、t を x と書き換えることには、
論理的には何の問題もなく、全く正しいのですが、
目がチラチラしたり、頭がゴチャゴチャしたり、
要するに間違いの元なので、あまりお勧めはしません。
∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin(π/2 - t) / { sin(π/2 - t) + cos(π/2 - t) } dt
= ∫[0→π/4] sin t / (sin t + cos t) dt
と
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
を被積分関数の時点で足すために、積分変数を揃えたいのなら、
むしろ、∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx のほうを
x = t で置き換えて、
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin t / (sin t + cos t) dt
としてしまうほうが、違和感は少ないような気がします。
二つの積分に、それぞれ異なる変数変換をしたって構わないでしょう?
回答ありがとうございます!
確かにそうですね… 違和感は少ないです(^_^;)
また少し違う考え方,勉強になりました.
ありがとうございました!
No.4
- 回答日時:
#2です。
>「tをxに置き換え」ても良いということですか?
そうですよ。
被積分関数は何であれ、定積分なのですから、積分結果は単なる数値になります。
被積分関数はtでもxでもyでもzでも何でも良いのです。
>t=π/2-x と置いたのにtをそのままxに置き換えていいのか…? と思ってしまいます…
こことは関係ありません。
前に行った変数変換とは無関係です。
No.3
- 回答日時:
こんばんわ。
>ここで右側の∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dxを
変形の順番が少し違っているように思います。^^
(1) sin(π/2- x)= cos(x)、cos(π/2- x)= sin(x)ですね。
まずこれを代入します。
(2) π/2- x= tと置き換えると、
積分区間は、x:π/4~π/2から、t:π/4~ 0となり、
dx= -dtとなります。
(3) (2)の結果を整理すると、
∫[0~π/4] cos(t)/{ cos(t)+ sin(t) } dt
となります。
(4) tを再度 xに戻して、最初の式に戻せば「通分」ができて、
∫[0→π/4] 1 dx = π/4
となります。
この回答への補足
回答ありがとうございます!
「tを再度 xに戻して」もいいんですよね?
ここでなぜかひっかかってしまいます…
一番最初のxと「「tを再度 xに戻した」後のxが同じじゃないように思います…
No.2
- 回答日時:
>x をπ/2 - xに置き換える,というようなことはしても良いのでしょうか?
構いませんよ。
t=π/2-xと置き換えて、tをxと書き換えれば同じ式が導かれますから。
以下、その途中式を書いてみます。
t=π/2-x ∴x=π/2-t, dx=-dt
x=π/4のとき t=π/4, x=π/2のとき t=0
∫[π/4→π/2] sin(x)/{sin(x)+cos(x)} dx
=∫[π/4→0] sin(π/2-t)/{sin(π/2-t)+cos(π/2-t)} (-dt)
=∫[0→π/4] sin(π/2-t)/{sin(π/2-t)+cos(π/2-t)} dt
=∫[0→π/4] sin(π/2-x)/{sin(π/2-x)+cos(π/2-x)} dx ←被積分関数tをxに置き換え。
この回答への補足
回答ありがとうございます!
「tをxに置き換え」ても良いということですか?
t=π/2-x と置いたのにtをそのままxに置き換えていいのか…? と思ってしまいます…
No.1
- 回答日時:
>x をπ/2 - xに置き換える,というようなことはしても良いのでしょうか?
>普通ならt = π/2 -xにして違う文字に置き換えますよね…?
つまり、一度、t = π/2 -xと違う文字に置き換えて、その後、さらにもう一度、x=tとあらためて置き直している、と思えばよいです。
途中が省略されてます。
>(t = … で計算したら答えにたどりつけませんでした)
うーん。まあ、そうかな。
つまり、
∫[0→π/4] sin(π/2 -x) / (sin(π/2 -x) + cos(π/2 -x)) dx
=∫[0→π/4] cos x / (sin x + cos x) dx
で、これと、質問文の式の2行目の第一項の
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
とを合わせると、分子=分母になるんで、結局
∫[0→π/4] 1 dx = π/4
ということなんですが。
ちょっと技巧的な感じですね。
この回答への補足
回答ありがとうございます!
t = π/2 -x と置いたということは,x = π/2 - tのはず…
これをx = tにしてもいいということでしょうか?
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