この問題わかる方いらっしゃいますか?

次の定積分を求めよ。

（1）　∫(0→π) θsinθ(cosθ+θsinθ)dθ

（2） ∫(0→π/2) |cosx-(1/2)|dx


わかる方、できれば詳しく解説お願い致しますm(__)m

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/02/02 04:32

（1）∫(0→π) θsinθ(cosθ+θsinθ)dθ

I=∫(0→π) θsinθ(cosθ+θsinθ)dθ=∫(0→π) [θsinθcosθ+θ^2sin^2θ]dθ

=∫(0→π)[θsin2θ/2+θ^2(1-cos2θ)/2]dθ

t=2θとおく

I=∫(0→2π)[tsint/4+(t^2/2)(1-cost)/2]dt/2

=(1/16)∫(0→2π)[2tsint+t^2(1-cost)]dt


J=∫tsintdt=[-tcost]+∫costdt=-tcost+sint(部分積分より）

K=∫t^2dt=t^3/3

L=∫t^2costdt=[t^2sint]-∫2tsintdt=t^2sint-2(-tcost+sint)=t^2sint+2tcost-2sint
(部分積分2回）

I＝(1/16)(2J+K-L)(0→2π)=(1/16)(-t^2sint-4tcost+4sint+t^3/3)(0→2π)

=(1/16)(8π^3/3-8π)=π^3/6-π/2


（2） ∫(0→π/2) |cosx-(1/2)|dx

= ∫(0→π/3) [cosx-(1/2)]dx+ ∫(π/3→π/2)[1/2-cosx]dx

=[sinx-(x/2)](0→π/3)+ [x/2-sinx](π/3→π/2)=(√3/2-π/6)+(π/4-π/6)-(1-√3/2)=√3-1-π/12

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/02/02 03:23

ちょっとくらいは頭を使ってもいいんじゃない?