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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
S = ∫∫ (1/√(x^2 +y^2)) dxdy,
積分範囲は D={(x,y)|1≦9x^2 +y^2 ≦9}
という積分ですかね。
S = 4∫∫ (1/√(x^2 +y^2)) dxdy,
積分範囲は D'={(x,y)|x≧0 ∧ y≧0 ∧ 1≦9x^2 +y^2 ≦9}
ふつーに (x,y) = (r cosθ, r sinθ) で極座標に変換すると、
S = 4∫∫ drdθ
積分範囲は D'={(r,θ)|0≦θ≦π/2 ∧ r≧0 ∧ 1≦(r^2)(9-8(sinθ)^2) ≦9}
なので
S = 4∫{0≦θ≦π/2} (∫{f(θ)/3 ≦r≦ f(θ)} dr) dθ
ただし
f(θ) = 1/√(1-(8/9)(sinθ)^2)
だから
S = (8/3)∫{0≦θ≦π/2} f(θ) dθ
= (8/3) K((√8)/3)
ここにK(k)は第1種完全楕円積分。(かな?)
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