「0 < x ≦ y ≦ zである整数x, y, zについて xyz=x+y+zを満たす整数x, y

「0 < x ≦ y ≦ zである整数x, y, zについて　xyz=x+y+zを満たす整数x, y, zをすべて求めよ。」という問題の解答についての質問です。

この問題の解説を見ると、

「xyz = x+y+z≦z+z+z= 3z」と、
xとyがz以下であることから　x=z,y=zのケースについて考え、解を絞り込んでいくという方針で解答していきます。

これ以降は画像にある通りなのですが、
これで「与式を満たす整数x,y,zのすべて」が求まったと断言できるのはなぜなのでしょうか？

x=zでかつy=z という極端なケースについてしか考えられていないように思うのですが…。

私は数学が苦手なので、易しい説明をしていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/16 18:47

xyz = x+y+z かつ x = z かつ y = z という極端なケースは、

xyz = x+y+z = z+z+z = 3z だけです。

xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z は、それより広い範囲を含んでいて、
xyz = x+y+z かつ x ≦ y ≦ z である x, y, z を全て含みます。
だって、(xyz = x+y+z かつ x ≦ y ≦ z) ならば
xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z が成り立つんですから。

ただし、xyz = x+y+z ≦ z+z+z = 3z だけの条件だと
(xyz = x+y+z かつ 0 < x ≦ y ≦ z となる整数) 以外のものも含んでいる
ので、条件を満たす x,y,z の中からどれが解か検討する必要があります。

この回答へのお礼

とてもわかりやすいご回答ありがとうございました！
確かに、x+y+zよりもz+z+zの方が広い範囲を含んでいますね。

お礼日時：2023/06/16 19:08

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2023/06/16 18:43

>「xyz = x+y+z≦z+z+z= 3z」と、

> xとyがz以下であることから　x=z,y=zのケースについて考え、

本当にそんなことが書いてありますか？
「」内から、 xyz≦3z　であり、z>0 だから、両辺に1/z>0を掛けると xy≦3 となるので（x≦yなる2つの正の整数x,y,を掛けて3以下になる場合は）(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)　しかありえない、としているのではないですか。

この回答へのお礼

そういう解き方もあるんですね！
勉強になりました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/06/16 19:09