相加相乗平均等号成立について

　相加相乗平均で(a+b)/2≧√(ab)で、等号成立がa=bではないような時の条件はどのようなときですか？
たとえば
　a=√{2(s+1)^2+9}
　b=√{(2s^2+1}
の時、a+bが、最小になるときのsを求めると、
s=-1/4の時最小で、a+b=3√2
一方、相加相乗平均を使ってa=bの時、即ちs=-5/2となり、a+b=3√6となり最小ではありません・・・。　　　　　　

No.5 回答者： guiter 回答日時： 2002/04/25 00:57

質問文を良く読み返してみると、No.2 で 62016479 さんが書かれているように

「a+bが最小値をとるとき」と「等号成立」を混同されているようです。

ご質問の
　a=√{2(s+1)^2+9}
　b=√{(2s^2+1}
の条件のもとでの a+b の最小値は、
確かに s=-1/4 のときに 3√2 となっていますが、
このとき
　a=(9/4)√2
　b=(3/4)√2
で、a≠b となっており 2√(ab) の値は (3/2)√6 とさらに小さく、
(a+b)/2＞√(ab) で等号は成立していません。

一方、a=b(s=-5/2)のときには
　a=b=√(27/2)
ですから、
　(a+b)/2 = {√(27/2)+√(27/2)}/2 = √(27/2)
　√(ab) = √{√(27/2)*√(27/2)} = √(27/2)
となり、等号が成立していることがわかります。

相加相乗平均の等号成立の条件とは
どんなときに (a+b)/2 が最小値をとるかではなく
どんなときに (a+b)/2 - √(ab) が最小値０をとるかということです。

この回答への補足

ありがとうございます。しかしどのような時でも成り立つ訳ではないということはわかりましたが、ではどのような時に成り立たないのかという事がわかりません…。

補足日時：2002/05/08 10:36

No.4 回答者： hikaru_mac 回答日時： 2002/04/24 02:34

こんばんわ。

hikaru_macです。
no.1のguitarさんの回答を見ていろいろひらめきました。

あなたへの回答ですが、
guitarさんの回答を私なりにまとめると、
「あなたが出題した問題で、相加平均相乗平均のわざを使うことはできません。
なぜなら、あなたの問題では、aとbが自由に選べないからです。
aをきめると、bが制限を受けます。
」
ということです。

、、、、。書いていてなんか自信が無くなってきたので自信無しです。

No.3 回答者： 128yen 回答日時： 2002/04/23 14:47

みなさんが回答されているように等号が成立するのはa=bの時だけです。

かなり以前の記憶なので間違っているかもしれませんが、
a>=0、b>=0の時、

(√a - √b)^2 >= 0　-(1)

a -2√a√b +　b >=　0

a + b >=　2√a√b

(a + b)/2 >= √a√b

等号が成立するのは、(1)よりa = bだけの時です。

No.2 回答者： 62016479 回答日時： 2002/04/23 14:31

a=bのときは等号は必ず成立します。

これは相加相乗平均の式でbにaを代入すれば、両辺ともaとなることから明らかです。
「a+bが最小値をとるとき」と「等号成立」は関係ありません。
等号成立はa=bのときのみです。
しかもこの例でS=-5/2のとき、a+bは27になるはずです。

No.1 回答者： guiter 回答日時： 2002/04/23 14:14

ご質問の例だと a,b の間に関係式があります。

a,b>0 で任意の値をとれるならば、a=b が等号成立の条件です。

f(a,b)=(a+b)/2-√(ab)
とすると、fはa=bで最小値を取ることがわかります。