数学の質問

こんにちは、中学３年生です。

数学の問題で分からないことがあります。

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a,b,cは正の整数である。
a,b,cを足し合わせると１１７である。

aは素数である。
bとcはaの倍数である。
b≦cである。

abcの最大の積は何かを答えよ。

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という問題があるのですが、いったいどのように解いていけばよいのでしょうか。

勉強不足ですみません。回答宜しくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/29 15:09

117=3×3×13

整数mとnを
m≧1、n≧1、m≦n
とすると
a+b+c=a(1+m+n)=117
abc=a³mn

117の素因数に3と17しかないから、a=3又は13

a=3の場合、m+n=38
mnの最大値は
m(38-m)=-m²+38m=-(m-14)²+14² だから14²

a³mn=5292

a=13の場合
mnの最大値は
m+n=8 だから同様にm=n=4のとき4²

a³mn=35152

答え35152

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:39

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 10:52

a>0

b>0
c>0
a+b+c=117

b=ja
c=ka

b≦c
ja≦ka
j≦k

a+b+c=a+ja+ka=(1+j+k)a=117=13*3^2

abc=ajaka=jka^3

aは素数だから
a=3.または.a=13

a=3の時
1+j+k=39
j+k=38
j=38-k

abc
=27jk
=27k(38-k)
=27{19^2-(k-19)^2}
≦27*19^2=27*361=9747

a=13の時
1+j+k=9
j+k=8
j=8-k

abc
=jk13^3
=13^3(8-k)k
=13^3{16-(k-4)^2}
≦16*13^3=35152

a=13
b=52
c=52
の時

abc=35152

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。詳しい回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:31

No.4 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2022/08/28 09:03

まず、bはaの倍数であることから、ある自然数mを使うと、b＝amと表せる。

cもaの倍であることから、同様に、ある自然数nを使って、c＝naと表せる。
a,b,cの和が117であることから、
117＝a+b+c＝a+am+an
＝a(1+m+n)
(1+m+n)は自然数であるから、aは117の約数である。
117を素因数分解すると
3²×13なのでここから約数を求めることができる。そんな約数のうち、素数は3と13だけ。
よって、aは3か13のどちらか。

a＝3の場合、
117＝a(1+m+n)より
(1+m+n)＝39
よって、m+n＝38
b≦cより、m≦n
この場合、m×nが最大となるのは、m＝18,n＝20のとき。
よって
a×b×c＝a×am×an
＝a³(mn)＝3³(18×20)

a＝13の場合、
117＝a(1+m+n)より
(1+m+n)＝9
よって、m+n＝8
b≦cより、m≦n
この場合、m×nが最大となるのは、m＝3,n＝5のとき。
よって
a×b×c＝a×am×an
＝a³(mn)＝13³(3×5)

あとは
3³(18++20) と 13³(3×5) のどちらが大きいかを判定すればよいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。とても詳しい回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:31

No.3 回答者： cruelman 回答日時： 2022/08/28 08:45

bとcはaの倍数であることからa,b,cを足し合わせたものもaの倍数である。

aが素数であることからaの取り得る値は限られる。
取り得るaの値に対してb+cの値をそれぞれ求める。
b+cの値に対するbcの最大値を求める。
取り得るaの値に対するabcの最大値を求めて比較する。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:30

No.2 回答者： ゆたモン0323 回答日時： 2022/08/28 08:39

問題文を読みとくと、n×a＝117 n≧5となります。

割りきれる素数は3,13辺りでしょうか。
あとは考えられるパターンで積が最大になるのを当たれば答えが出そうですね。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:29

No.1 回答者： sagida 回答日時： 2022/08/28 07:56

素数はぐくると分かるから、後は色々当てはめてみるだけですね。

まず、やってみて。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/05 06:29