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正の約数の個数が20個である最小の自然数を求めよ」
という問題で、(□+1)×(△+1)=20となる□と△の組み合わせを求めてから写真のようにある素数の指数(△と□)が導けるところまではわかったのですが、なぜ2^9×3^1⋯①といったように指数の底まではっきりと求められるのですか?例えば①に関しては5^9×7^9のような別の素数が底になる場合も考えられますよね?
どなたかご説明お願いします。

「正の約数の個数が20個である最小の自然数」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 追加の写真です

    「正の約数の個数が20個である最小の自然数」の補足画像1
      補足日時:2022/07/26 11:58
  • 写真の2・3・5と最小の素数を取っているというところが、疑問です。
    2・5・7とか色々な素数の組み合わせがあると思うのです…

      補足日時:2022/07/26 12:03

A 回答 (4件)

最小の自然数を求めるのですから、


底は なるべく 小さな素数にする必要がありますね。
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掛け合わせて20になる2以上の組み合わせが上記の3パターンであとは、最後の19+1です。

これを全件チェックして最小を求めたわけですが、その中の一番要素が多い者が2x2x5であったため、2以上の素数を小さい方からあてはめていくと、2,3,5を使ったということになります。5の代わりに7を使うと(因数は20個でも)確実に5を使ったときより大きくなってしまうからです。

因数が 2x2x2x3=24個あるような場合は、次に小さい素数7も考慮しなくてはいけなくなります。
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2^9×3 < 5^9×7


だから。

最も小さな数を探すのだから、同じ指数パターンなら
素数が小さい方が小さい。
また、大きい方の指数を小さい方の素数に付けた方がより小さくなる。

指数パターンは
19
9、1
4、3
4、1、1
の4パターンしかないから
2^19
2^9×3
2^4×3^3
2^4×3×5

の中で最も小さいのが答え。
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問題の中の言葉、"最小の自然数"を満たすように考えれば、底は小さくとる方がよいのは明白です。



2^9*3が5^9*7よりも小さいのは明らかです。
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