解説おねがします。 xy平面上の2点をA(2.1)B(2.2)とする。直線y=ax+bが線分ＡＢと共

解説おねがします。

xy平面上の2点をA(2.1)B(2.2)とする。直線y=ax+bが線分ＡＢと共有点を持つとき、a^2+b^2の取りうる値の最小値は？

おねがいします。

No.3 回答者： Tamageta 回答日時： 2018/04/29 11:20

参考まで。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/26 05:03

xy平面上の2点をA(2.1)B(2.2)とする。

直線y=ax+bが線分ＡＢと共有点を持つとき、
a^2+b^2の取りうる値の最小値は？
A.Bの2点間の線分の上ではx=2で、このとき、 yは①となり、②の条件が付く。
y=2a+b＿＿①
1≦y≦２＿＿②
①からbは③となり、bをa^2+b^2に入れると④になる。
b= y－2a＿＿③
a^2+b^2= a^2+(y－2a)^2=a^2+y^2－4ay+4a^2
=5a^2－4ay+y^2＿＿④
変数aについて平方完成の変形を行うと
=5(a－2y/5)^2－4(y^2)/5+y^2
=5(a－2y/5)^2+(y^2)/5＿＿⑤
これはa=2y/5のとき，最小値(y^2)/5となる。不等式②の条件から
限界値y=1のとき、a^2+b^2は最小となる。
このときa=2/5，b=1/5で、a^2+b^2=1/5

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2018/04/25 17:59

aまたはbがゼロの時を考えてみよう。

aやbは負の∞から正の∞までの値を取ります。
ならば考え方としては、どちらか一方または両方がゼロになる場合を考えるのが妥当。