
x,y は整数で,
13x-31y=k (定数)
を満たしている.
x^2+y^2
が最小となるとき,
5x-12y=1
であった.k の値を求めよ.
(略解)
x=31t+12k, y=13t+5k (tは整数) より,k=2, 3
(質問)
x=31t+12k, y=13t+5k (tは整数)
はいいとして、
x^2+y^2=(31t+12k)^2+(13t+5k)^2
が最小となるとき,
5x-12y=1 ⇔ -t=1 ⇔ t=-1
ここからどうやってkを求めるのでしょうか。
また、図形的な解法もあるのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
13x-31y=k
x^2+y^2が最小となるとき
5x-12y=1
だから
x=12k-31
y=5k-13
のときx^2+y^2が最小となるから
x^2+y^2≧(12k-31)^2+(5k-13)^2
↓
x^2+y^2=(31t+12k)^2+(13t+5k)^2≧(12k-31)^2+(5k-13)^2
↓
(31t)^2+2*31*12kt+(13t)^2+2*13*5kt≧(31)^2-2*31*12k+(13)^2-2*13*5k
↓
{565(t-1)+437k}(t+1)≧0
t=0のとき
k≧565/437>1.2
t=-2のとき
k≦1695/437<3.9
1.2<k<3.9
∴
k=2,3
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