正の約数の個数が20個である最小の自然数を求めよ」 という問題で、(□+1)×(△+1)＝20となる

正の約数の個数が20個である最小の自然数を求めよ」
という問題で、(□+1)×(△+1)＝20となる□と△の組み合わせを求めてから写真のようにある素数の指数(△と□)が導けるところまではわかったのですが、なぜ2^9×3^1⋯①といったように指数の底まではっきりと求められるのですか？例えば①に関しては5^9×7^9のような別の素数が底になる場合も考えられますよね？
どなたかご説明お願いします。

質問者からの補足コメント

• 追加の写真です

  
    補足日時：2022/07/26 11:58

• 写真の2・3・5と最小の素数を取っているというところが、疑問です。
  2・5・7とか色々な素数の組み合わせがあると思うのです…

    補足日時：2022/07/26 12:03

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/26 13:22

最小の自然数を求めるのですから、

底は なるべく 小さな素数にする必要がありますね。

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/07/26 13:23

掛け合わせて20になる２以上の組み合わせが上記の3パターンであとは、最後の19+1です。

これを全件チェックして最小を求めたわけですが、その中の一番要素が多い者が2ｘ2ｘ5であったため、２以上の素数を小さい方からあてはめていくと、2，3，5を使ったということになります。５の代わりに7を使うと（因数は２０個でも）確実に5を使ったときより大きくなってしまうからです。

因数が　2ｘ2ｘ2ｘ3＝24個あるような場合は、次に小さい素数7も考慮しなくてはいけなくなります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/26 13:14

2^9×3 < 5^9×7

だから。

最も小さな数を探すのだから、同じ指数パターンなら
素数が小さい方が小さい。
また、大きい方の指数を小さい方の素数に付けた方がより小さくなる。

指数パターンは
19
9、1
4、3
4、1、1
の4パターンしかないから
2^19
2^9×3
2^4×3^3
2^4×3×5

の中で最も小さいのが答え。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/07/26 12:44

問題の中の言葉、"最小の自然数"を満たすように考えれば、底は小さくとる方がよいのは明白です。

2^9*3が5^9*7よりも小さいのは明らかです。