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数学の質問です。

1〜6までの番号のついた6個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる入れ方は何通りあるか。

という問題で、3つの箱にA.B.Cと振っておいて、
3⁶=729
これは、3!=6通りずつ同じものとみなされているから、
729×1/6 通りと思ったのですが、
分数になってしまって、答えとなりません。
何がおかしいのか教えてください。

A 回答 (10件)

箱Aに番号1,2のボール、箱Bに番号3,4のボール、箱Cに番号5,6のボールを入れた場合を、


[A,B,C]=[{1,2},{3,4},{5,6}]
と表すことにします。
[A,B,C]=[{1,2},{3,4},{5,6}]、[A,B,C]=[{1,2},{5,6},{3,4}]
[A,B,C]=[{3,4},{1,2},{5,6}]、[A,B,C]=[{5,6},{1,2},{3,4}]
[A,B,C]=[{3,4},{5,6},{1,2}]、[A,B,C]=[{5,6},{3,4},{1,2}]
A,B,Cの区別がなければこの6通りは同じものです。

[A,B,C]=[{1,2,3,4},{5,6},{}]、[A,B,C]=[{1,2,3,4},{},{5,6}]
[A,B,C]=[{5,6},{1,2,3,4},{}]、[A,B,C]=[{},{1,2,3,4},{5,6}]
[A,B,C]=[{5,6},{},{1,2,3,4}]、[A,B,C]=[{},{5,6},{1,2,3,4}]
A,B,Cの区別がなければこの6通りは同じものです。

上に書いた2つの例のようにA,B,Cの中身が異なれば、順列の数は、
3!=6(通り)
なので、6通りずつ同じものとみなされます。
しかし、
[A,B,C]=[{1,2,3,4,5,6},{},{}]
[A,B,C]=[{},{1,2,3,4,5,6},{}]
[A,B,C]=[{},{},{1,2,3,4,5,6}]
この場合は、同じものを含む順列の数になるので、
3!/2!=3(通り)
なので、3通りずつ同じものとみなされます。

3⁶=729(通り)のうち、同じものを含む順列になるのは空箱が2つになる場合だけです。ボールに番号がついているので、その他の場合は同じものを含む順列にはなりません。

これより、
729通りを2つの場合にわけて、
①同じものを含む場合は空箱が2つの場合の3通りで、
この3通りは同じものとみなされるので、
3×(1/3)=1(通り)
②残りの726通りは、6通りずつ同じものとみなされるので、
726×(1/6)=121(通り)

したがって、求める場合の数は、
1+121=122(通り)
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この回答へのお礼

すごくわかりやすいです...!
ありがとうございます!

お礼日時:2021/07/15 10:12

箱を区別しない場合、うまいやり方ってないんだよね。



ボールも区別しない場合、箱の中のボールの個数だけで
場合が区別されます。

箱を区別しないという条件では、場合を比較するということは、
箱中のボールの個数をいろいろ並び替えて、
個数が全部一致するパターンが1個でもあれば同じと考えます。

ということは、箱の中のボールの個数の並びは昇順だけ考えれば
よいので。

0,0,6
0,1,5
0,2,4,
0,3,3
1,1,4
1,2,3
2,2,2

入れ方は7通りしかないです。
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この回答へのお礼

確かに、ボールの入れ方はそうかもしれませんが、ボールには1から6までの番号が振られているので、区別がされています。それを考えると、違う答えになるのではないですか?

お礼日時:2021/07/15 10:12

空き箱があってもよい場合、空き箱の数により重複度が異なります。


空き箱が0,1の場合は重複度6,空き箱が2個(要するに1個の箱にボールが6個入っている場合)の重複度は3です。
このことを留意して計算すればよい。

空き箱が2個の場合は重複して数えると3通りしかありません。
ですので求める答えは
(3^6-3)/6+3/3 通り
となります。
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3⁶=729は、0個の組があっても良いものの求め方です。


0個の組が無いもの、1個の時は、重複度は3!
0個の組が2個の時は、重複度は3です。
122通り
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解き方としては、ただ列挙しちゃうのが簡単で早い。



一番ボールが多い箱が 6個入りの場合、
入れ方は 6個,0個,0個の 1通り。

一番ボールが多い箱が 5個入りの場合、
残りの 1個をふたつの箱に入れる入れ方を考えればよくて
5個,1個,0個の 1通り。

一番ボールが多い箱が 4個入りの場合、
残りの 2個をふたつの箱に入れる入れ方を考えればよくて
4個,2個,0個 と 4個,1個,1個 の 2通り。

一番ボールが多い箱が 3個入りの場合、
残りの 3個をふたつの箱に入れる入れ方を考えればよくて
3個,3個,0個 と 3個,2個,1個 の 2通り。

一番ボールが多い箱が 2個入りの場合、
残りの 4個をふたつの箱に入れる入れ方を考えればよいが、
ふたつの箱はどちらも 2個以下でないといけないから
2個,2個,2個 の 1通り。

一番ボールが多い箱が 1個入りってことはあり得ない。
合計が 6個にならないから。

以上より、答えは 1+1+2+2+1 = 7通り。
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> これは、3!=6通りずつ同じものとみなされているから



ここがおかしい。
例えば、ボール 6個とも A に入れるという入れ方は
6個とも B, 6個とも C の 2通りとしか重複していないから、
3! 通りではなく 3通りで同じものとみなさなければならない。
入るボールが同数になる箱があると、 1/6 ではなくなってしまう。
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3つの箱には 必ず1個以上ボールが入るの? 0 の箱があっても良いの?


「1〜4までの番号のついた4個のボールを区別のつかない2つの箱に入れる」
と云う問題だったら どうする?
4個だったら 計算でなくて、実際に 分けてみたら 答えが見つかるかも。
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条件が抜けている。


「空箱が有っても良い」と「空箱は無い」とで答えが違う。
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3⁶=729 がおかしい


その意味は 箱A~Fが6つあって
その中にいれるナンバーの順列は? ただし同じ数字があっても構わない
ということ
だから 例えば 6つの箱に
1-1-1-1-1-1 が入っていて1通り
1-2-3-4-5-6 が入っていて1通り
他のものも数えると上2つを含めて729通りということ
題意とは全然違いますよね

また 箱の中のボールの個数が同数ならA,B,Cの名前をなくしたときに区別できなくなるから3!で割るのは意味があるが
同数でないなら 箱の名前をなくしても区別がついてしまう(1こ入りの箱、2個入りの箱、3個入りの箱というように)
この場合は3!でわる意味がない

この辺を踏まえて考えチェ見てください
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その考え方ですと、


729通りの中には
1つの箱に6個入れるパターンも入っています。


「1つの箱には必ず1個のボールを入れる」

などの条件が問題文にあれば、
要らないパターンを排除して
考える必要があります。
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