笑わない数学ーー確率論

NHK総合テレビの毎週水曜日11:00PMに「笑わない数学」という素人向けの数学番組がありますが、9/21のテーマは「確率論」。この番組の中でつぎのようなクイズが出されました。いま、3つの同じような箱があり（A,B,Cと呼ぼう）、その一つに賞品がはいっているが、外からはわからない。A,B,Cの３つの箱のうちのどれかを選んだとき、賞品を引き当てる確率はもちろん1/3です。いま、あなたは箱Aを選んだとする。つぎにクイズの主催者は箱Cには賞品はいっていないことを明かす。したがって、賞品はAとBのいずれかにはいっていることになる。この段階で、あなたは、希望するなら、はじめに選択したAの代わりにBに選択を変えてもかまわない、と告げられる。賞品を欲しいあなたとしては、選択する箱をAからBに変えるべきか、それとも当初に選んだ通り、Aのままでよいのか、確率の点から判断せよ、という問題です。
この問題は有名な問題らしく、解答も番組で説明されているのですが、私としてはちょっと納得のいかないところがあります。番組を見た方でも見なかった方でもどちらでも構いません、正しい解答とそのロジックを示してください。直感的には、Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、賞品はAかBのどちらかにはいっているのだから、もとのままAを選択しても、Bに選択を変更しても、当たる確率1/2で変わらないはずです。

質問者からの補足コメント

• 番組の解答は以下のようなものだったと思います。ただし、文章ではなく、表による説明だった。3通りの場合がある。
  (1)　A（の箱）に賞品があるとき。B,Cは空なので、主催者(全部の箱の中身を知っている）はCが空であることを回答者に見せる。
  (2)　Bに賞品があるとき、AとCが空なだが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はCが空であることを見せる。
  (3)　Cに賞品があるとき。AとBが空だが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はBが空であることを見せる。

    補足日時：2022/09/25 14:25

• (上の続きです）
  よって、(1)場合は、選択をAのまま「変えない」ときが〇（当たり）で、AからBに変えるとX（外れ）だ。
  (2)の場合は、選択をAのままで変えないとXで、AからBに変えると、〇だ。
  (3)の場合は、選択をAのまま変えないとXで、AからCに変えると、〇だ。
  よって、変えない戦略は1/3、変える戦略は2/3の当たり確率となり、変えたほうが変えないときより2倍の確率になる、ということらしい。

    補足日時：2022/09/25 14:27

• (上の続きです）
  しかし、(1)の場合は主催者は空の箱をCではなく、Bを選んで見せることができたはずだ。その場合、回答者は選択をAのまま変えないことが〇で、AからCに変えると✕となる。このケースをいれるなら、全部で4つの場合があり、2つの場合で変えないほうがよく、2つの場合で変えたほうがよいとなるでしょう。つまり、変えないことの当たり確率2/4=1/2であり、変える戦略の当たり確率も2/4=1/2と同じになるのではないか！
  つまり、「2枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る確率は2枚、1枚、0枚」の3通りある」と考えるのと同じ間違いを番組の解答をしているのではないか、ということ。

    補足日時：2022/09/25 14:35

• ベイズの定理を直接用いて結果を導いてみました。箱をA,B,Cとし、P(A),P(B),P(C)をそれぞれ箱に賞品がはいっている（つまり当たりの）確率とし、A*,B*,C*を外れの（それぞれ、A,B,Cの箱に賞金がはいっていない）事象とし、P(A*),P(B*),P(C*)をそれぞれの箱が外れのときの確率としましょう。ベイズの定理の公式をつかうと
  P(A|C*)=P(C*|A)P(A)/P(C*)
  P(B|C*)=P(C*|B)P(B)/P(C*)
  と書ける。左辺は、箱Cが空だったときにそれぞれ箱AとBに賞金がはいっている確率。いま、見せ箱Cが主催者によってランダム（無作為）に選ばれているなら、P(C*)=2/3、P(A)=1/3、P(C*|A)=1だから
  P(A|C*)＝1/2、同様にP(B|C*)=1/2となり、残った箱のどちらを選んでも確率は同一であるという「直観の結果」と一致する！

    補足日時：2022/09/30 08:53

• （上の続きです）
  しかし、「見せ箱」C*はランダムではなく、第1段階で箱Aが回答者によって選ばれると、空箱B*とC*から「作為的」に選ばれている。このとき、P(C*)＝1/2、P(C*|A)=1/2、P(A)=1/3となるので、上のほうの式にこれらを代入し、P(A|C*)＝1/3となる。
  一方、P(C*)=1/2、P(C*|B)=1、P(B)=1/3より、下のほうの式に代入してP(B|C*)=2/3となる。後者のほうが（つまり当初の箱Aから箱Bに変更すると）2倍の当たり確率となる。
  　なお、上の計算で、P(C*|A)=1/2となるのは、箱Aが当たりのとき、空箱はC*とB*の2通りあるからだ。一方、P(C*|B)＝1となるのは、箱Bが当たりのとき、空箱はA*とC*の2通りあるが、回答者はAと回答している（と仮定している）ので、C*が確実に選ばれるので、P(C*|B)=1となるからだ。

    補足日時：2022/09/30 08:56

• No19へのお礼コメントで書いた冒頭部分
  
  ＞まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=0となります。P(C*)を展開してみると..
  
  のところは、もちろん、
  
  まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=1/2となります。P(C*)を展開してみると..
  
  の変換ミスですので、訂正してください。

  No.19の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/09/30 15:47

No.16 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/26 07:10

主催者がどれがあたりか知らなかった場合も吟味してみましょう

Aがあたりとして

①挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6
②挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1/2合わせて確率1/6
③挑戦者がBを選ぶ 確率 1/3、主催者がAを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6
④挑戦者がBを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6
⑤挑戦者がCを選ぶ 確率 1/3、主催者がAを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6
⑥挑戦者がCを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6

③と⑤の状況はモンティホールの状況を再現していないので
①、②、④、⑥の状況だけ考えます。

①、②、④、⑥の状況になる確率は
1/6×4=2/3

挑戦者が勝つ条件付確率は
(①+②)/(2/3)=1/2
挑戦者が負ける条件付き確率は
(④+⑥)/(2/3)=1/2

これが質問者の言うところの確率です。

再び主催者がどれがあたりかしっていたとすると

①挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1/2 合わせて確率1/6
②挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1/2合わせて確率1/6
③挑戦者がBを選ぶ 確率 1/3、主催者がAを選ぶ 確率0 合わせて確率0
④挑戦者がBを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1 合わせて確率1/3
⑤挑戦者がCを選ぶ 確率 1/3、主催者がAを選ぶ 確率0 合わせて確率0
⑥挑戦者がCを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1 合わせて確率1/3

③と⑤の状況はモンティホールの状況を再現していないので
①、②、④、⑥の状況だけ考えますが

①、②、④、⑥の状況になる確率は
1/6+1/6+1/3+1/3=1
#どれがあたりか主催者は知っているので当然ですね。

挑戦者が勝つ条件付確率は
(①+②)/1=1/3
挑戦者が負ける条件付き確率は
(④+⑥)/1=2/3

以上ですが、これは主催者が複数の箱を選んで開ける場合
等確率で箱を選ぶことを仮定してます。

しかし、あたりがBとCの場合も合わせて考えれば
主催者の箱の選び方に癖があっても
同じ結論になります。

この回答へのお礼

No14の回答者と同じ方ですよね。そこに書いたお礼コメントは別の人へのお礼コメントでしたので訂正してここに書かせていただきます。

シミュレーションの結果はわかっています。番組でも「Aのままで回答する」グループと「AからBへ回答を変更する」グループの二手に分かれて、実験し、後者のほうが高い「当たり」結果を得ています。質問はなぜ一見すると直感に反するような結果が出るのか、その背後にあるロジックを知りたいというのが趣旨です。

No.16の回答へのお礼コメント。この問題は要するにベイズ定理の応用問題ですよね。私も、昔統計学で習ったベイズ定理を大急ぎで復習し、補足コメントでベイズ定理を直接用いた解を書いてみましたのでご覧ください。こちらの回答を見る前に書いたのですが、こちらの回答とは考え方は一致していると思います。

お礼日時：2022/09/30 10:52

No.25 回答者： aoi35 回答日時： 2022/10/05 08:05

No2で回答したものです。

まだやっていたんですねwww

令和の時代にこれほどまでに『モンティホール問題』
で盛り上がるとは思っていませんでした。
この問題は、ある一定数の方々は
納得も理解も出来ないと言う話も聞きます
まぁ数学とはそういうものです。

この回答へのお礼

No2の回答の方ですか、ありがとうございます。解決していますよ。閉じていないだけです。私自身はベイズ定理の応用問題として考えるのが一番よいと考えています。補足コメントにその解を書いておきました。

お礼日時：2022/10/05 08:45

No.24 回答者： 能天気の語源を知っていますか 回答日時： 2022/10/04 17:13

最初に申しましたようにこのモンティホールの問題は確率の問題としては簡単です。

わざわざ小難しいベイズの定理を使ってまで解くようなことをしないでもすぐそれぞれの確率は出ますから、変更する方がいいだろうなということは言えます。
でも実際問題、クイズの回答者の立場に立って考えるとそう簡単に変更すれば賞品がもらえるとは考えにくいのです。
そこがこの問題のみそなんです。
１０枚とか１００枚とかを考えてみれば分かるというのは、議論でやってはいけない詭弁です。一回きりのチャンスしかない場合の回答を求められているのですから。だからこのモンティホール問題は人の心理を突いた面白くて難しい問題なのです。それを変更すればあたりが２倍になるなどと軽々しくは言えないのです（何回も、それこそ千回もやればそこそこそういう数字になることは分かっています。）そのことを今まで指摘する人がいなかったようなので私が提示したのです。ここまで言っても私の真意が伝わりませんかねーーー、みなさん。

No.23 回答者： 能天気の語源を知っていますか 回答日時： 2022/10/04 09:00

私が先に紹介した、ベイズの定理を使った動画は実は説明不足なのです。

正確なやり方を示している動画は以下になりますのでそちらをご覧ください。

https://www.youtube.com/watch?v=vl3V0b_5jwE
https://www.youtube.com/watch?v=38joFSLntxI&t=690s

No.22 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/10/02 13:10

その言葉そちらさんに返しますよ！

かえされてもね（笑）
天と地がひっくり返っても、実証しても、シミュレーションしても、条件付き確率の法則持ち出しても、間違っている側が、無知を武器にごね続ける理由にはなりませんよ。

No.21 回答者： 能天気の語源を知っていますか 回答日時： 2022/10/01 10:07

>私も昔統計理論のベイズ定理の練習問題で「3囚人問題」を解いたことがあることを思い出し、ベイズ定理の応用問題としてもう一度よく考えてみたのです。

この過程で問題のトリックがどこにあるかがよく理解できました。ベイズの定理の応用として解いた結果は補足コメントに書いておきましたので、ご覧ください。

*ベイズの定理を使っての分かりやすい説明は以下を見てください。こういう時、YouTubeは本当に便利ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。私がベイズ定理を応用して解いた補足コメントの結果と同じになっていますね。こちらのほうが動画なのでわかりやすいでしょうか。

お礼日時：2022/10/02 08:00

No.20 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/09/30 16:51

無知が維持はると、どうにもなりませんな・・・

この回答へのお礼

その言葉そちらさんに返しますよ！

お礼日時：2022/10/02 08:00

No.19 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/30 11:19

う～ん、補足の式だけど

P(C*)=1/2
が唐突だね。
ちゃんと導くべき。

P(C*)は、式の形式が表しているように
第一段階の選択を「全て」考慮した値になります。

この回答へのお礼

まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=0となります。P(C*)を展開してみると
P(C*)=P(C*|A)P(A)+P(C*|B)P(B)+P(C*|C)P(C)
右辺に
P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(C*|A)=1/2, P(C*|B)=1, P(C*|C)=0
を代入すると、
P(C*)=1/2
となる。ここで、注意すべき点はP(C*|A)=1/2ですが、この点については補足で述べた。

お礼日時：2022/09/30 14:57

No.18 回答者： 能天気の語源を知っていますか 回答日時： 2022/09/28 09:56

この問題はいろいろ面白いので回答したいと思います。

>いま、あなたは箱Aを選んだとする。
これは、あなたが３つの箱の中から偶然に箱Aを選んだということです。司会者に誘導されてとか最初からAを選ぶように仕組まれていたとかということではない、偶然な事柄だということが大切です。なのでAを選んだのは確率が１/３なのです。このことをしっかり覚えておいてください。
以下、Aを選択しても、Bに選択を変更しても、当たる確率1/2で変わらないと回答する人が多いのはなぜかというからくりを説明したいと思います。
もしも司会者が残りの２つの箱から意図せず偶然に箱Cを開いて見せたのなら、それは１/３の確率でCが選ばれたことになります。よって箱Bが残るのはこれも偶然ですから、その確率は１/３だということになりますね。
つまりAもBも同じ１/３の確率で選ばれたのです。そして箱Aと箱Bのどちらかに賞品が入っていることは確かだが、分からないという状況です。この場合は誰がやっても当たる確率はどちらも１/２になることの異論はありませんね。これを本題にも適用するので間違える人が大勢出てくるのです。
本題はと言うと、司会者は最初からどこに賞品が入っているかは知っているのです。どういう場合も外れの箱を開けて見せることが出来るのです。
クイズの挑戦者はどの箱を選ぼうと当たる確率は１/３でしかありません。残った箱の方が当たる確率は２/３なのです。何故なら先ほど言ったように偶然に最後の箱が残ったのではなく意図して残されたものだからです。ということでどんな場合も箱を変更した方が当たる確率は２倍になるのだからそうしましょうというのが、「笑わない数学」やその他の多くの人たちの結論なのです。
これで話は終わりではありません。最初にこの問題は面白いといったことを思い出してください。
この挑戦者は絶対に賞品を手に入れたいと思っています。その思いが強ければ強いほど万が一でも外したくないのです。確率では確かに変更した方がいいとは頭の中で分かっていても実際のクイズの場面に立つと心が揺らぐのです。だって１/３で当たるのですよ。当たっているのに変更して賞品が手に入らなかったら、それは本当にもう後悔しきれないでしょうね。
そうなんです。この問題はここから心理問題に変わってくるのです。
最初に何個以上の箱があれば同じような形式でクイズがなされても、あなたならある程度確信をもって、つまり後悔しないで、変更することが出来ますかということです。この問題のように最初箱が３個というのが絶妙な数なのです。もしこれが４個とか５個なら割り切った考えが出来てあっさり変更するということになるのではないでしょうか。況や、最初から箱が１０個とか１００個とかなら言わずもがなですね。
どうですか。皆様、納得されましたでしょうか。

この回答へのお礼

この問題を最初に質問をとりあげたのはあなたのほうが先でしたね。この問題が「モンティ・ホール問題」と呼ばれる有名な問題だということは知らなかったので、あなたが同じ問題を先に取り上げていることは知らなかったのです。番組でも「モンティ・ホール問題」という名前は出なかったと思います。私はとくにこの問題の心理的側面には興味なく、一見すると「直感的に正しい」と思われる、「変更するのもしないのも確率1/2で、確率的には同じだ」ということがなぜ正しくないのか、より厳密な議論・解答を欲しかったのです。（番組の中でも「解答」を示していますが、欠陥があると思います。）No17の回答の方がこの問題と「3囚人問題」とよく似ていると指摘してくれたので、私も昔統計理論のベイズ定理の練習問題で「3囚人問題」を解いたことがあることを思い出し、ベイズ定理の応用問題としてもう一度よく考えてみたのです。この過程で問題のトリックがどこにあるかがよく理解できました。ベイズの定理の応用として解いた結果は補足コメントに書いておきましたので、ご覧ください。

お礼日時：2022/10/01 06:20

No.17 回答者： srafp 回答日時： 2022/09/26 14:36

> この問題は有名な問題らしく

寝てしまい番組を見逃してしまったので正しいかどうかわかりませんが「モンティ・ホール問題」ですかね?
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3 …

同種の問題として、ベイズ統計学の初歩的な解説でみた「３囚人問題」があります。
　https://ja.wikipedia.org/wiki/3%E5%9B%9A%E4%BA%B …

この回答へのお礼

ネットのたいへん有益なリンクを教えてくれてありがとう。私もベイズの定理を用いた解法を考えていたので大へん参考になりました。補足コメントにベイズの定理を用いた（この問題の）考え方=解法を書きましたので参照ください。

お礼日時：2022/09/30 08:47