笑わない数学ーー確率論

NHK総合テレビの毎週水曜日11:00PMに「笑わない数学」という素人向けの数学番組がありますが、9/21のテーマは「確率論」。この番組の中でつぎのようなクイズが出されました。いま、3つの同じような箱があり（A,B,Cと呼ぼう）、その一つに賞品がはいっているが、外からはわからない。A,B,Cの３つの箱のうちのどれかを選んだとき、賞品を引き当てる確率はもちろん1/3です。いま、あなたは箱Aを選んだとする。つぎにクイズの主催者は箱Cには賞品はいっていないことを明かす。したがって、賞品はAとBのいずれかにはいっていることになる。この段階で、あなたは、希望するなら、はじめに選択したAの代わりにBに選択を変えてもかまわない、と告げられる。賞品を欲しいあなたとしては、選択する箱をAからBに変えるべきか、それとも当初に選んだ通り、Aのままでよいのか、確率の点から判断せよ、という問題です。
この問題は有名な問題らしく、解答も番組で説明されているのですが、私としてはちょっと納得のいかないところがあります。番組を見た方でも見なかった方でもどちらでも構いません、正しい解答とそのロジックを示してください。直感的には、Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、賞品はAかBのどちらかにはいっているのだから、もとのままAを選択しても、Bに選択を変更しても、当たる確率1/2で変わらないはずです。

質問者からの補足コメント

• 番組の解答は以下のようなものだったと思います。ただし、文章ではなく、表による説明だった。3通りの場合がある。
  (1)　A（の箱）に賞品があるとき。B,Cは空なので、主催者(全部の箱の中身を知っている）はCが空であることを回答者に見せる。
  (2)　Bに賞品があるとき、AとCが空なだが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はCが空であることを見せる。
  (3)　Cに賞品があるとき。AとBが空だが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はBが空であることを見せる。

    補足日時：2022/09/25 14:25

• (上の続きです）
  よって、(1)場合は、選択をAのまま「変えない」ときが〇（当たり）で、AからBに変えるとX（外れ）だ。
  (2)の場合は、選択をAのままで変えないとXで、AからBに変えると、〇だ。
  (3)の場合は、選択をAのまま変えないとXで、AからCに変えると、〇だ。
  よって、変えない戦略は1/3、変える戦略は2/3の当たり確率となり、変えたほうが変えないときより2倍の確率になる、ということらしい。

    補足日時：2022/09/25 14:27

• (上の続きです）
  しかし、(1)の場合は主催者は空の箱をCではなく、Bを選んで見せることができたはずだ。その場合、回答者は選択をAのまま変えないことが〇で、AからCに変えると✕となる。このケースをいれるなら、全部で4つの場合があり、2つの場合で変えないほうがよく、2つの場合で変えたほうがよいとなるでしょう。つまり、変えないことの当たり確率2/4=1/2であり、変える戦略の当たり確率も2/4=1/2と同じになるのではないか！
  つまり、「2枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る確率は2枚、1枚、0枚」の3通りある」と考えるのと同じ間違いを番組の解答をしているのではないか、ということ。

    補足日時：2022/09/25 14:35

• ベイズの定理を直接用いて結果を導いてみました。箱をA,B,Cとし、P(A),P(B),P(C)をそれぞれ箱に賞品がはいっている（つまり当たりの）確率とし、A*,B*,C*を外れの（それぞれ、A,B,Cの箱に賞金がはいっていない）事象とし、P(A*),P(B*),P(C*)をそれぞれの箱が外れのときの確率としましょう。ベイズの定理の公式をつかうと
  P(A|C*)=P(C*|A)P(A)/P(C*)
  P(B|C*)=P(C*|B)P(B)/P(C*)
  と書ける。左辺は、箱Cが空だったときにそれぞれ箱AとBに賞金がはいっている確率。いま、見せ箱Cが主催者によってランダム（無作為）に選ばれているなら、P(C*)=2/3、P(A)=1/3、P(C*|A)=1だから
  P(A|C*)＝1/2、同様にP(B|C*)=1/2となり、残った箱のどちらを選んでも確率は同一であるという「直観の結果」と一致する！

    補足日時：2022/09/30 08:53

• （上の続きです）
  しかし、「見せ箱」C*はランダムではなく、第1段階で箱Aが回答者によって選ばれると、空箱B*とC*から「作為的」に選ばれている。このとき、P(C*)＝1/2、P(C*|A)=1/2、P(A)=1/3となるので、上のほうの式にこれらを代入し、P(A|C*)＝1/3となる。
  一方、P(C*)=1/2、P(C*|B)=1、P(B)=1/3より、下のほうの式に代入してP(B|C*)=2/3となる。後者のほうが（つまり当初の箱Aから箱Bに変更すると）2倍の当たり確率となる。
  　なお、上の計算で、P(C*|A)=1/2となるのは、箱Aが当たりのとき、空箱はC*とB*の2通りあるからだ。一方、P(C*|B)＝1となるのは、箱Bが当たりのとき、空箱はA*とC*の2通りあるが、回答者はAと回答している（と仮定している）ので、C*が確実に選ばれるので、P(C*|B)=1となるからだ。

    補足日時：2022/09/30 08:56

• No19へのお礼コメントで書いた冒頭部分
  
  ＞まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=0となります。P(C*)を展開してみると..
  
  のところは、もちろん、
  
  まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=1/2となります。P(C*)を展開してみると..
  
  の変換ミスですので、訂正してください。

  No.19の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/09/30 15:47

No.15 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/09/25 22:29

No9です

お礼見ました

＞AがあたりになるのはCが空箱の場合とBが空箱の場合の2通りあるし、
だから、
Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、
　Aがあたりの場合は「2通り」でなく「一通り」
になるのでは？

＞逆にCが空箱ならAがあたりになる場合とBがあたりになる場合の2通りある。
でも、Cが空箱（Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、）
Aがあたりの場合は「2通り」でなく「一通り」では？

この回答へのお礼

>Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、　Aがあたりの場合は「2通り」でなく「一通り」になるのでは？

そうです。ここで問題にしているのは「Aが当たりのとき、空箱はBとCである」というしごく当たり前のことをいっています。何通りあるかを考えるとき、主催者側には見せる空箱をBにするか、Cにするかという2通りの選択があるという話です。

あなたの次のコメントも同様です。ここでは、あくまでも番組の「解答」を前提にして補足コメントを書いていることをお忘れなく。

お礼日時：2022/09/30 09:53

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/25 22:13

モンティ・ホール シミュレーション(言語 python)

import random as rd

n1 = 0
n2 = 0

choices = {"A", "B", "C"}
for i in range(10000):
　#賞品の箱を選ぶ
　t0 = rd.choice(tuple(choices))
　#挑戦者選択
　t1 = rd.choice(tuple(choices))
　#主催者選択
　t2 = rd.choice(tuple(choices - {t0} - {t1}))

　#挑戦者、選択を変えずあたり
　if t0 == t1:
　　n1 += 1

　#挑戦者 選択を変更
　t1 = tuple(choices - {t1} - {t2})[0]
　#挑戦者 選択を変えてあたり
　if t0 == t1:
　　n2 += 1

#それぞれの確率を出力
print(n1/10000, n2/10000)

結果
0.3367 0.6633

[Program finished]

質問者の予想は間違っていることが示されました。

この回答へのお礼

最初に選択　　A　B　C　　　　変更した　　　そのまま
A　　　　　　〇　ｘ　ｘ　　　　　ｘ　　　　　　〇
A　　　　　　ｘ　〇　ｘ　　　　　〇　　　　　　ｘ
A　　　　　　ｘ　ｘ　〇　　　　　〇　　　　　　ｘ
4行目　
A　　　　　　〇　 ×　×　　　　 　×　　　　　 〇　　　　

1行目と4行目の違いは、1行目はCを「見せ空箱」にしているのに対して、4行目はBを「見せ空箱」にしている、ということです。3行目も「見せ空箱」はBですね。補足コメントでは、見せ空箱を基準にして、Cの場合が２つ、Bの場合が２つの４通りあるのではないか、といっているのです。

お礼日時：2022/09/30 10:21

No.13 回答者： 宇宙少年ソラン 回答日時： 2022/09/25 21:01

＞AからCに変えると✕となる。

このケースをいれるなら、全部で4つの場合があり
↑
文字だとわからないので
4行目を作っていただけませんか。

最初に選択　　A　B　C　　　　変更した　　　そのまま
A　　　　　　〇　ｘ　ｘ　　　　　ｘ　　　　　　〇
A　　　　　　ｘ　〇　ｘ　　　　　〇　　　　　　ｘ
A　　　　　　ｘ　ｘ　〇　　　　　〇　　　　　　ｘ
4行目　　　　A　B　C　　　　　　　　　　　　　　　　←教えてください

この回答へのお礼

間違ってNo.14のところにあなたへのお礼コメントを書いてしまいましたので、それをコピーします。

最初に選択　　A　B　C　　　　変更した　　　そのまま
A　　　　　　〇　ｘ　ｘ　　　　　ｘ　　　　　　〇
A　　　　　　ｘ　〇　ｘ　　　　　〇　　　　　　ｘ
A　　　　　　ｘ　ｘ　〇　　　　　〇　　　　　　ｘ
4行目　
A　　　　　　〇　 ×　×　　　　 　×　　　　　 〇　　　　

1行目と4行目の違いは、1行目はCを「見せ空箱」にしているのに対して、4行目はBを「見せ空箱」にしている、ということです。3行目も「見せ空箱」はBですね。補足コメントでは、見せ空箱を基準にして、Cの場合が２つ、Bの場合が２つの４通りあるのではないか、といっているのです。

お礼日時：2022/09/30 10:27

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/25 20:07

>「番組の場合分け」は補足コメントの最初に書いた

>(1),(2),(3)の場合分けです。

NO.6にも少し書いたけど
(1)のケースで主催者は常にCを選ぶ
ということでもいいんだよ。
問題の中に主催者の開ける
箱の選択基準はないでしょ？

だからケースは3ケースも考えられるし、4ケースも
考えられる。でもそれは全然結論に影響しないんだ。

ただケースの数を数えれば確率が出ると思っているなら
大間違いです。

N07に書いたように、単に樹形図かけば確率は簡単に求まります。

No.11 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/09/25 18:50

友達なり、親にやってもらいな。

親のが、ランダムにA,B、Cのどれかを当たりにする。
あなたが、A、B、Cどれかを決める。
親が、ハズレの記号を言う。

ここまでは同じ。

①　選択を常に変える。
②　選択を変えない。

これを、１００回やってごらん。（①と②は同時に観測できます）

やれば、３０分で終わります。

そのときの、当選確率　つまり、XX回/ 100 をそれぞれ出すだけ。
①が②のちゃんと２倍ぐらいになっていることがわかります。

まず、その事実から認め、自分の理解が間違っている前提で、番組を見て、回答の解説（ほぼ全員正解です）を理解する。それが、学ぶということです。

あなたが、謙虚さがないのは、

・　自分が間違っていると分かっている問題で
・　自分が、自分の知識と先入観で、場合分けなどを勝手に想定し、
・　ほら、①も②も同じでしょ・・・
・　どこが間違っているか指摘してよ。

という論法だからです。回答者みんな

「お前の持論、しらねえよ・・・」

です。

あなたに基礎知識がなく、確率のこともわかっておらず、ない知識を、独自にアレンジして説明をするから、間違っているのだから、まず持論を捨ててて、すべての他人の説明を謙虚に聞き、理屈を咀嚼する。そうやっていくうちに、自分が何を間違えていたのかが、結果としてわかるのです・・・

これは、学問の基本的な態度だと思います。自分の概念だけで、新しいことを考えるから、いつまでたっても、答えにたどり着かないのです。

この回答へのお礼

実験して番組の解答が正しいことを認めたうえで、なぜそうなるか確率論のロジックをしりたいというのが質問の趣旨であることはきちんと書いたつもりです。あなたのもう一つの回答のお礼コメントに書きましたので、読んでくださいな。

お礼日時：2022/09/30 17:00

No.10 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/09/25 17:41

＞どこが間違いなのか言ってください。

いいですか。すでに結論が出ている数学的に厳密な問題です。Excelなどで、ランダムに、当たりをせっていして、シミュレーションしても、厳密に理論的確率通りに、結果が出ます。Excelやプログラミングできないなら、友達とやってみれば、同じことができます。

なんで、理解できない無知の人の、支離滅裂の説明を、こちらが間違いの指摘をしなきゃいけないのか？

回答にある説明を理解する努力をして、自分の間違いは自分で見つける。それが科学的態度の常識です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3 …

に、証明も、モデルも、無知な人が陥りやすい、勘違いも全て説明してあるので、一字一句読んで、咀嚼して、理解してから、自分の疑問をあげてください。

＞もう一度書きます、(1)の場合、Aに賞品があるとき、BとCは空箱です。主催者はCを空箱だといって示します。それが一つ。主催者はBを空箱だといって示したことができたはず。

なにが言いたいの？先に、箱を選ぶんですよ。それから、主催者が残りのドアのうち、空を示す。これじゃ、問題の状況と無関係。

＞それがもう一つ。(2)と(3)は番組の解答の通り、つまり、（２）はBに賞金が入っている場合、（３）はCに賞金が入っている場合。全部で4通りになるでしょう！

？？？　支離滅裂で、何が言いたいのかわかりません。あなたは、全体の当たりが配置されるはなしと、先に回答者がドアを選ぶ状況を、都合よく混在させて、思いつきで討議していますね。だから支離滅裂なのです。

A,B,Cのなかで、当たりはどこか１つですから、その中のドアを選んだとき、

当たりになるのは１通り。
ハズレになるのは２通り。

小学生でもわかります。

この回答へのお礼

＞いいですか。すでに結論が出ている数学的に厳密な問題です。Excelなどで、ランダムに、当たりをせっていして、シミュレーションしても、厳密に理論的確率通りに、結果が出ます。Excelやプログラミングできないなら、友達とやってみれば、同じことができます。

ずいぶん、高飛車なあるいは上から目線の回答ですね。この問題が「モンティ・ホール問題」という確率論上の有名な問題だったことを知らなかったことは事実ですが、番組でも言っていましたが、この問題に対する正解が発表されたとき、解答が間違っているという1万通ぐらいの抗議の投書が来て、そのなかには有名大学の教授をふくむ1000人以上の博士号を持つ人々、あなたのいうところの「無知」の人たちが含まれていたらしい。シミュレーションや実験をすると、「正解」が支持されることは、番組の中でも、Aをそのまま回答したときのグループとAからBへ回答を変更したときのグループの２つのグループに分けた実験をして後者が前者を2倍くらい上回ることを示していました。そのこと自体が問題なのではなく、一見すると直感的に正しく見える、「変更しても変更しなくても当たりの確率は1/2で変わらない」という事実を説明するロジックを知りたいから質問したのです。質問にたいしていろいろ回答を得たので、私も掘り下げて考えてみました。昔、統計学でベイズの定理を習ったとき、練習問題として挙げられていた、このモンティ・ホール問題によく似た「三囚人問題」を解いたこと思い出し、ベイズの定理を用いた解を「補足コメント」に書きましたので、ご覧ください。無知な質問者より。

お礼日時：2022/09/30 16:21

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/09/25 17:39

横から失礼

>補足コメントで書いたように、Aがあたりの場合は2通りあるのではないか、といっているのです。

Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、
　Aがあたりの場合は「2通り」でなく「一通り」
になるのでは？

この回答へのお礼

AがあたりになるのはCが空箱の場合とBが空箱の場合の2通りあるし、逆にCが空箱ならAがあたりになる場合とBがあたりになる場合の2通りある。

お礼日時：2022/09/25 21:40

No.8 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/09/25 16:56

＞補足コメントで書いたように、Aがあたりの場合は2通りあるのではないか、といっているのです。

まちがった考えに、コメントはありません。

３通りに、当たりが１つ。Aがあたりは、１通りしかありません。小学生でもわかる事実です。

この回答へのお礼

どこが間違いなのか言ってください。もう一度書きます、(1)の場合、Aに賞品があるとき、BとCは空箱です。主催者はCを空箱だといって示します。それが一つ。主催者はBを空箱だといって示したことができたはず。それがもう一つ。(2)と(3)は番組の解答の通り、つまり、（２）はBに賞金が入っている場合、（３）はCに賞金が入っている場合。全部で4通りになるでしょう！

お礼日時：2022/09/25 17:25

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/25 16:11

>「2枚の硬貨を同時に投げるとき、

>表の出る確率は2枚、1枚、0枚」の3通りある」
>と考えるのと同じ間違いを番組の解答をしている

番組がどういう場合分けを行なっていたかは知りませんが
あなたは各場合が同様の確からしさを持つとは限らない
という点を見落としてます。

この確認は確率の問題を解くときの基本。

2枚、1枚、0枚でも各事象の確からしさを
正しく導くことが出来れば、正しい結論が得られます。

あなたの考えた各事象が全て等確率なのか
よく考えてみましょう。

この回答へのお礼

＞番組がどういう場合分けを行なっていたかは知りませんが

「番組の場合分け」は補足コメントの最初に書いた(1),(2),(3)の場合分けです。

お礼日時：2022/09/25 17:29

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/25 15:46

場合分けで考えても難しくない。

Aがあたりとして

①挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1/2(*) 合わせて確率1/6
②挑戦者がAを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1/2(*) 合わせて確率1/6
③挑戦者がBを選ぶ 確率 1/3、主催者がCを選ぶ 確率1 合わせて確率1/3
④挑戦者がCを選ぶ 確率 1/3、主催者がBを選ぶ 確率1 合わせて確率1/3

(*)主催者がBが好きとかで確率が1/2でなくとも
①と②で主催者がBを選ぶ確率+Cを選ぶ確率が合わせて1なら後の議論に影響しません。

よって挑戦者が選択を変えない場合
全事象(①+②+③+④)の確率=1
挑戦者が勝つ(①+②)確率=1/3

挑戦者が選択を変えた場合は③と④で挑戦者が勝つので
確率=1/3+1/3=2/3