笑わない数学ーー確率論

NHK総合テレビの毎週水曜日11:00PMに「笑わない数学」という素人向けの数学番組がありますが、9/21のテーマは「確率論」。この番組の中でつぎのようなクイズが出されました。いま、3つの同じような箱があり（A,B,Cと呼ぼう）、その一つに賞品がはいっているが、外からはわからない。A,B,Cの３つの箱のうちのどれかを選んだとき、賞品を引き当てる確率はもちろん1/3です。いま、あなたは箱Aを選んだとする。つぎにクイズの主催者は箱Cには賞品はいっていないことを明かす。したがって、賞品はAとBのいずれかにはいっていることになる。この段階で、あなたは、希望するなら、はじめに選択したAの代わりにBに選択を変えてもかまわない、と告げられる。賞品を欲しいあなたとしては、選択する箱をAからBに変えるべきか、それとも当初に選んだ通り、Aのままでよいのか、確率の点から判断せよ、という問題です。
この問題は有名な問題らしく、解答も番組で説明されているのですが、私としてはちょっと納得のいかないところがあります。番組を見た方でも見なかった方でもどちらでも構いません、正しい解答とそのロジックを示してください。直感的には、Cには賞品が入っていないと告げられた時点で、賞品はAかBのどちらかにはいっているのだから、もとのままAを選択しても、Bに選択を変更しても、当たる確率1/2で変わらないはずです。

質問者からの補足コメント

• 番組の解答は以下のようなものだったと思います。ただし、文章ではなく、表による説明だった。3通りの場合がある。
  (1)　A（の箱）に賞品があるとき。B,Cは空なので、主催者(全部の箱の中身を知っている）はCが空であることを回答者に見せる。
  (2)　Bに賞品があるとき、AとCが空なだが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はCが空であることを見せる。
  (3)　Cに賞品があるとき。AとBが空だが、Aは回答者が選んでいるので、主催者はBが空であることを見せる。

    補足日時：2022/09/25 14:25

• (上の続きです）
  よって、(1)場合は、選択をAのまま「変えない」ときが〇（当たり）で、AからBに変えるとX（外れ）だ。
  (2)の場合は、選択をAのままで変えないとXで、AからBに変えると、〇だ。
  (3)の場合は、選択をAのまま変えないとXで、AからCに変えると、〇だ。
  よって、変えない戦略は1/3、変える戦略は2/3の当たり確率となり、変えたほうが変えないときより2倍の確率になる、ということらしい。

    補足日時：2022/09/25 14:27

• (上の続きです）
  しかし、(1)の場合は主催者は空の箱をCではなく、Bを選んで見せることができたはずだ。その場合、回答者は選択をAのまま変えないことが〇で、AからCに変えると✕となる。このケースをいれるなら、全部で4つの場合があり、2つの場合で変えないほうがよく、2つの場合で変えたほうがよいとなるでしょう。つまり、変えないことの当たり確率2/4=1/2であり、変える戦略の当たり確率も2/4=1/2と同じになるのではないか！
  つまり、「2枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る確率は2枚、1枚、0枚」の3通りある」と考えるのと同じ間違いを番組の解答をしているのではないか、ということ。

    補足日時：2022/09/25 14:35

• ベイズの定理を直接用いて結果を導いてみました。箱をA,B,Cとし、P(A),P(B),P(C)をそれぞれ箱に賞品がはいっている（つまり当たりの）確率とし、A*,B*,C*を外れの（それぞれ、A,B,Cの箱に賞金がはいっていない）事象とし、P(A*),P(B*),P(C*)をそれぞれの箱が外れのときの確率としましょう。ベイズの定理の公式をつかうと
  P(A|C*)=P(C*|A)P(A)/P(C*)
  P(B|C*)=P(C*|B)P(B)/P(C*)
  と書ける。左辺は、箱Cが空だったときにそれぞれ箱AとBに賞金がはいっている確率。いま、見せ箱Cが主催者によってランダム（無作為）に選ばれているなら、P(C*)=2/3、P(A)=1/3、P(C*|A)=1だから
  P(A|C*)＝1/2、同様にP(B|C*)=1/2となり、残った箱のどちらを選んでも確率は同一であるという「直観の結果」と一致する！

    補足日時：2022/09/30 08:53

• （上の続きです）
  しかし、「見せ箱」C*はランダムではなく、第1段階で箱Aが回答者によって選ばれると、空箱B*とC*から「作為的」に選ばれている。このとき、P(C*)＝1/2、P(C*|A)=1/2、P(A)=1/3となるので、上のほうの式にこれらを代入し、P(A|C*)＝1/3となる。
  一方、P(C*)=1/2、P(C*|B)=1、P(B)=1/3より、下のほうの式に代入してP(B|C*)=2/3となる。後者のほうが（つまり当初の箱Aから箱Bに変更すると）2倍の当たり確率となる。
  　なお、上の計算で、P(C*|A)=1/2となるのは、箱Aが当たりのとき、空箱はC*とB*の2通りあるからだ。一方、P(C*|B)＝1となるのは、箱Bが当たりのとき、空箱はA*とC*の2通りあるが、回答者はAと回答している（と仮定している）ので、C*が確実に選ばれるので、P(C*|B)=1となるからだ。

    補足日時：2022/09/30 08:56

• No19へのお礼コメントで書いた冒頭部分
  
  ＞まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=0となります。P(C*)を展開してみると..
  
  のところは、もちろん、
  
  まさに第1段階の選択を考慮するから、P(C*)=1/2となります。P(C*)を展開してみると..
  
  の変換ミスですので、訂正してください。

  No.19の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/09/30 15:47

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/25 14:31

これちょっと極端な例を考えれば

あなたの考えが奇妙なのはすぐ解ります。
取りあえず挑戦者が選択を変えない場合を考えて見ましょう。

残り2個のどちらかはあたりなので、
選択を変えた場合は余事象なので
片方だけ考えれば良いからです。


箱が百個あるとしましょう。商品の入っている箱は一個です。
①挑戦者はその中のひとつの箱を選ぶ。
②主催者はどれが空なのか知っているので
98個の空箱を開いて見せる。

以上で閉じた箱が2個残り、片方が挑戦者の選んだ
箱ですが、挑戦者の選んだ箱に商品が入っている確率は
1/2 だと思いますか?
確率は①の段階で決まっているとは思いませんか？

質問にははっきり書いて無いけど、②の
「主催者はどれが空なのか知っているので」
はとても重要。

①、②が
①挑戦者はその中のひとつの箱を選ぶ。
②主催者が98個の挑戦者の選んだ箱以外の箱を
ランダムに開けてみたところ偶然全て空だった。

では状況が全く異なります。

この回答へのお礼

3箱の場合に戻りましょう。たしかにどういう確率分布でA,B,Cの箱にはいっているのかわかりません。しかし、少なくとも番組ではCの箱を見せるまでは確率1/3で3つの箱のいずれかに入っている、といっていましたから、3箱に等しい確率ではいっていると考えるのが自然でしょう。したがって、Cが空箱であるとわかった段階ではA、Bのいずれかに1/2の確率で入っていると考えるのは自然では？

お礼日時：2022/09/25 17:44

No.4 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/09/25 14:12

モンティ・ホール問題と言います。

ネットで、いくらでも解説されてる。番組でも正しく、わかりやすく解説されていた。TV見て残念ながら理解できないなら、おろらく、あなたの能力で理解するのは無理です。高校の数学や確率から勉強し直しましょう。

非常に簡単に言えば、

A、B、Cのどれかに、あたりが１つはいっている。

Cが外れと言われたとき、Aがハズレと知っているなら、変えてBを引けば確実にBにあたりがでる。

Cが外れと言われたとき、Aがあたりと知っているなら、変えずにAを引けば確実に当たりがでる。

このとき、実際にはAがどうなっているかはわからないけど、最初からAが外れの場合は２通り。Aが当たりの場合は１通り。つまり変えてドアを開けたほうが、当たりを引く場合が大きい。

というシンプルな話です。

まず事実を確認してみなよ。友達に付き合ってもらって１００回やってごらん。ちゃんと、選択を変えたほうが、倍の確率で当たりを引けることを体験できるので。

自分を正しいとして、先入観で解説を聞く限り、永遠に理解できないのです。

この回答へのお礼

＞このとき、実際にはAがどうなっているかはわからないけど、最初からAが外れの場合は２通り。Aが当たりの場合は１通り。つまり変えてドアを開けたほうが、当たりを引く場合が大きい。

補足コメントで書いたように、Aがあたりの場合は2通りあるのではないか、といっているのです。

お礼日時：2022/09/25 16:38

No.3 回答者： 宇宙少年ソラン 回答日時： 2022/09/25 12:18

たまたま録画していたので

早速みました。

https://www.krsk-phs.com/entry/montyhall

これからすると
箱（ドア）をあけた結果は
3通りしかなく
シナリオ（未来結果）からすると
変えないときは１パターンのみ
変えたときは２パターンあるので
変えたほうが
２倍の確率になります。

マリリンさんは天才！

この回答へのお礼

本当に3通りか、そこが問題です。番組の解答と私の疑問を補足コメントで書いたので見てください。

お礼日時：2022/09/25 16:21

No.2 回答者： aoi35 回答日時： 2022/09/25 11:57

私も見てて分からなくなり寝れなかったです（笑）

最初はA,B,Cどれでも1/3の確率
私はAを選んで（1/3）
司会者がCは不正解と言った
A=1/3　（3個から選んだから）
B=2/3　（3個から選んだB、Cの合計だから）
C=0/3　（ハズレ）
でBに変えたほうが良いよって話です。

因みに最初からBを選んでいたら
変えたらハズレになりますね。

私もうまく説明できないので
モンティホール問題　で検索してね！

この回答へのお礼

早速回答ありがとうございます。

＞最初はA,B,Cどれでも1/3の確率
私はAを選んで（1/3）
司会者がCは不正解と言った
A=1/3　（3個から選んだから）
B=2/3　（3個から選んだB、Cの合計だから）
C=0/3　（ハズレ）
でBに変えたほうが良いよって話です。

そういう問題ではなかったと思います。私の質問の文章が番組を正確に要約していると思う。いずれにせよ、番組の解答と私のコメントを補足しておいたので見てください。

お礼日時：2022/09/25 16:18

No.1 回答者： タマタマポチ 回答日時： 2022/09/25 11:09

見ました。

理屈はよくわからないですが、実験で2度目に変えた方が間違いなく確率が上がっていましたよね。
　
私が思うに（正しいのか、間違っているのか？）
始めは1/3の確率です。これに異論はないですよね。
で、1つ開けて万一これが正解ならやり直し。
　
そして次へ行く。
選択を変えなければ、始めの1/3の確率のまま。
変更すると、1/3を取り去った状態で（2/3の状態で）1/2の確率になる。
　
「1つ開けて万一これが正解ならやり直し」この部分がミソではないでしょうか？

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。しかし、

＞始めは1/3の確率です。これに異論はないですよね。
で、1つ開けて万一これが正解ならやり直し。
そして次へ行く。
選択を変えなければ、始めの1/3の確率のまま。
変更すると、1/3を取り去った状態で（2/3の状態で）1/2の確率になる。
「1つ開けて万一これが正解ならやり直し」この部分がミソではないでしょうか？

少なくとも番組ではあなたのおっしゃるような設定ではなかったと思います。質問で書いたような設定だったと思いますよ。補足コメントを書きましたので、見てください。

お礼日時：2022/09/25 16:12