線形代数で正方行列の性質について

初歩的な質問で申し訳ないのですが、行列の対角線成分を足したtraceがありますが、
　　「全成分を足した和」
について、何か定理や言えることはあるのでしょうか？

行列表示の大きなかっこを省略して、
　　　 a b c
d e f
g h i
の時、その和＝a+b+c+d+e+f+g+h+i です。
3×３行列のみではなく、n×nの場合があればいいのですが。
ご教示お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/16 13:39

「全成分を足した和」の名前は知らないし、

定理も特に記憶にないなあ。

行列は、一次変換の成分表示であって、
ベクトル空間の基底を変えると
ベクトルの成分表示が変わるのにともなって
行列の成分も変わります。

daterminant や trace は、そのとき値が変わらないので、
行列の性質というよりも一次変換が持つ性質と考えられ
いろいろ応用範囲が広いのですが、
全成分を足した和は、基底が変わると値が変わってしまいますよね。

「全成分『の絶対値』を足した和」なら、
マンハッタン・ノルムと呼ばれ、
行列がなす空間に距離を入れるのに使えます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
マンハッタンノルムについて、もう少し調べてみます。

お礼日時：2025/06/18 19:57

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/18 08:34

係数行列が非正則だと、二次形式が非退化にならないから

「内積」とは呼ばないと思う。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2025/06/17 22:52

その行列をAとし、全成分が1である縦ベクトルをvとし、vの転置をv'とすると、「全成分を足した和」は v' A v と表せる。

これはベクトルvとベクトル(A v)の内積にほかなりません。A = Q R （たとえばQが正規直交行列、Rが上三角行列とか）のように分解した場合だと、ベクトル(Q' v)とベクトル(R v)の内積、と読むこともできます。
　で、それがどうした？と尋ねると、さて、他でもない「全成分が1であるベクトル」に取り立ててどんな意味があるんだか、さっぱりわからんです。