七回やっても計算合わない

これって
連続して”ちょうど”nかい零が出るのは、
s1にいてs3に行って（１の区切りが入る)0をn回
か
(1の区切りが入る)s1 にいてs2に行ってs0でn-2回0を出す
か
s3にいてs２に行って（１の区切りが入る), s0に行って0をn-1回
の３つだよね？

だからw1x0.5x(0.3)^n+...みたいになって形はおなじになるけど5.32なんておおっきい数字は絶対出てこないと思う。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/16 19:46

s0 にいて0がn回出る確率は(28/47)(0.9)^n

s1 にいて0がn回出る確率は(7/47)(0.5)(0.4)(0.9)^{n-2}
s2 にいて0がn回出る確率は(7/47)(0.4)(0.9)^{n-1}
s3 にいて0がn回出る確率は(5/47)(0.3)^n

0がn回出る確率は
P(0^n)
=
(28/47)(0.9)^n+(7/47)(0.5)(0.4)(0.9)^{n-2}+(7/47)(0.4)(0.9)^{n-1}+(5/47)(0.3)^n
=
(5/47){(28/5)(0.9)^n+(7/5)(0.5)(0.4)(0.9)^{n-2}+(7/5)(0.4)(0.9)^{n-1}+(0.3)^n}
=(5/47)((28/5)(0.81+0.05+0.09)(0.9)^{n-2}+(0.3)^n)
=(5/47)((28/5)(0.95)(0.9)^{n-2}+(0.3)^n)
=(5/47)(5.32(0.9)^{n-2}+(0.3)^n)

0がn+1回出る確率は
P(0^{n+1})
=
(28/47)(0.9)^{n+1}+(7/47)(0.5)(0.4)(0.9)^{n-1}+(7/47)(0.4)(0.9)^n+(5/47)(0.3)^{n+1}
=(5/47)(5.32(0.9)^{n-1}+0.3^{n+1})

0がn回続いた後に0が出る条件付き確率は
P(0|0^n)
=P(0^{n+1})/P(0^n)
=(5.32(0.9)^{n-1}+(0.3)^{n+1})/(5.32(0.9)^{n-2}+(0.3)^n)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/16 23:42

No.1 訂正：

ああ、(M0)^k の計算が違ってたね。
ハヤトチリした。

(M0)^2 =
　(0.9)^2　(0.5)(0.4)　(0.4)(0.9)　0
　0　　　　0　　　　0　　　　　0
　0　　　　0　　　　0　　　　　0
　0　　　　0　　　　0　　　　　(0.3)^2
となるから、両辺に左から (M0)^(ｋ-2) を掛けて
(M0)^ｋ =
　(0.9)^ｋ　(0.5)(0.4)(0.9)^(k-2)　(0.4)(0.9)(0.9)^(ｋ-2)　0
　0　　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　　0
　0　　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　　0
　0　　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　　(0.3)^ｋ

よって、
P( 0^k ) = (1 1 1 1) (M0)^k v[∞]
　　　　= (0.9)^ｋ w0 + (0.5)(0.4)(0.9)^(k-2) w1 + (0.4)(0.9)(0.9)^(ｋ-2) w2 + (0.3)^k w3
　　　　= β (0.9)^(k-２) + (0.3)^k w3
ただし、
β = (0.9)^2 w0 + (0.5)(0.4) w1 + (0.4)(0.9) w2
ああ、(0.9)^(n-2) の (n-2) は、ここから来るのか。なるほど。

条件付き確率の定義から
P( 0 | 0^n ) = P( 0^(n+1) ) / P( 0^n )
　　　　　= { β (0.9)^(ｎ-１) + (0.3)^(ｎ+1) w3 } / { β (0.9)^(n-２) + (0.3)^n w3 }

(3) の模範解答は、これを
= { α (0.9)^(n-1) + (0.3)^(n+1) } / { α (0.9)^(n-2) + (0.3)^n }
と書いているから
α = β/w3
　= { (0.9)^2 w0 + (0.5)(0.4) w1 + (0.4)(0.9) w2 } / w3
　= { (0.9)^2 (28/47) + (0.5)(0.4) (7/47) + (0.4)(0.9) (7/47) } / (5/47)
　= 5.32

こんどは、ちゃんと 5.32 になった。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/16 11:34

時刻 t に s0, s1, s2, s3 にいる確率を並べた列ベクトルを v[t] と置くと、

v[t+1] = M v[t] となる行列 M は
M =
　0.9　0　0.4　0
　0.1　0　0.6　0
　0　0.5　0　0.7
　0　0.5　0　0.3
となっている。

定常状態では v[∞] = M v[∞] となるので、一次方程式を解いて
(w0, w1, w2, w3) = 転置 v[∞]　//　(5.6, 1.4, 1.4, 1).
これに w0 + w1 + w2 + w3 = 1 の条件を課せば、
(w0, w1, w2, w3) = (28/47, 7/47, 7/47, 5/47)
となる。 これが (1) の答え。

出力が 0 になるのは
s0→s0　0/0.9
s1→s2　0/0.5
s2→s0　0/0.4
s3→s3　0/0.3
と遷移するときなので、
Px(0) = (0.9, 0.5, 0.4, 0.3) v[∞]
　　　= 0.9 w0 + 0.5 w1 + 0.4 w2 + 0.3 w3
　　　= 33/47.
これが (2) の答え。

条件付き確率の定義から、
状態分布 v[t] から 0 を出力した後の状態分布 は M0 v[t].
ただし M0 =
　0.9　0　0.4　0
　0　0　0　0
　0　0.5　0　0
　0　0　0　0.3
と書ける。
定常状態から出力 0 が k 回続いた後の状態分布は
(M0)^k v[∞] となるが、
k ≧ 2 のとき
(M0)^k =
　(0.9)^k　0　0　0
　0　0　0　0
　0　0　0　0
　0　0　0　(0.3)^k
である。

出力 0 が k 回続く確率 P( 0^k ) は
P( 0^k ) = (1 1 1 1) (M0)^k v[∞]
　　　　= (0.9)^k w0 + (0.3)^k w3,
条件付き確率の定義から
P( 0 | 0^n ) = P( 0^(n+1) ) / P( 0^n )
　　　　　= { (0.9)^(n+1) w0 + (0.3)^(n+1) w3 } / { (0.9)^n w0 + (0.3)^n w3 }
　　　　　= { (0.9)^(n+1) w0/w3 + (0.3)^(n+1) } / { (0.9)^n w3/w0 + (0.3)^n }.

(3) の模範解答は、これを
= { α (0.9)^(n-1) + (0.3)^(n+1) } / { α (0.9)^(n-2) + (0.3)^n }
と書いているから
α = (0.9)^2 ｗ0/w3
　= (0.9)^2 (28/47) / (5/47)
　= 4.536
となって... あれ？ 5.32 にならないな。