数列

ⅲ)を解くにあたって何をしたらいいのかまったく見当がつきません。
どなたか教えて頂けないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 17:03

ｂｎ は、実はパッと見ほど面倒な数列ではありません。

自然数 n に対して n^2 を 3 で割った余りは
n を 3 で割った余りが 0 のとき ｂｎ = 0,
n を 3 で割った余りが 1 のとき bn = 1,
n を 3 で割った余りが 2 のとき bn = 1
になります。

n = 3q + r, q は整数, r ∈ { 0,1,2 } と置いて、
n^2 を 3 で割った余りを求めてみれば判ることです。

よって、
Σ[k=1..3n] bkSk　= Σ[k=1..3n の中で 3 の倍数ではない k] Sk
= Σ[k=1..3n] Sk　-　Σ[k=1..3n の中で 3 の倍数である k] Sk
= Σ[k=1..3n] Sk　-　Σ[q=1..n] S(3q)
と変形できます。

Sn = n(n+2) は既に求めてあるので、

Σ[k=1..3n] Sk = Σ[k=1..3n] k(k+2)
= Σ[k=1..3n] { k(k+1) + k }
= (1/3)3n(3n+1)(3n+2) + (1/2)3n(3n+1)
= (1/2)n(3n+1)(6n+7),

Σ[q=1..n] S(3q) = Σ[q=1..n] (3q)(3q+2)
= Σ[q=1..n] { 9q(q+1) - 3q }
= 9(1/3)n(n+1)(n+2) - 3(1/2)n(n+1)
= (3/2)n(n+1)(2n+3)
より

Σ[k=1..3n] bkSk　= Σ[k=1..3n] Sk　-　Σ[q=1..n] S(3q)
= (1/2)n(3n+1)(6n+7)　-　(3/2)n(n+1)(2n+3)
= 6n^3 + 6n^2 - n
です。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/01/29 17:14

b(n)=0(nが3の倍数),1(nが3の倍数でない)

ですので、求める答えは
Σ[k=1～3n]b(k)S(k)=Σ[k=1～3n]S(k)-Σ[k=1～n]S(3k)
=Σ[k=1～3n]k(k+2)-Σ[k=1～n]3k(3k+2)
これを計算すればよい。kの範囲が違うので項別に計算してから引き算してください。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/29 16:49

自然数nに対して

n=3m のとき
n^2=9m^2を3で割った余りは0だから
b(3m)=0
n=3m+1のとき
n^2=3(3m^2+2m)+1を3で割った余りは1だから
b(3m+1)=1
n=3m-1のとき
n^2=3(3m^2-2m)+1を3で割った余りは1だから
b(3m-1)=1

Σ[k=1～3n]b(k)S(k)
=Σ[m=1～n]{S(3m-2)+S(3m-1)}
=Σ[m=1～n]{3m(3m-2)+(3m-1)(3m+1)}
=Σ[m=1～n](9m^2-6m+9m^2-1)
=Σ[m=1～n](18m^2-6m-1)
=18Σ[m=1～n]m^2-6Σ[m=1～n]m-n
=3n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)-n
=n{6n(n+1)-1}
=n(6n^2+6n-1)