恒等式の定理の疑問

Question

１f(x)=g(x)がxにどんな値を代入しても成り立つ
２xの異なる３つの値α、β、γについてf(x)=g(x)

このような定理がありました。
教えてほしいところ
１と２の定理の違いがわかりません。
２番はxの異なる３つの値α、β、γを代入しても成り立つということですよね。これは要するにどんな値を代入しても成り立つに含まれますよね。
違いを厳密に教えて下さい。

kabaokaba · Accepted Answer

別に補足を要求した人がその補足に返答しなければならん
なんていうことはないでしょ.
実際，補足によって他の人が理解できる形になって
答えがでることは頻繁にある.

人に厳密性を求めるのであれば
自分でまず厳密に書くこと.
厳密に書くことができないのであれば
せめてきちんとかくこと.
そもそも「１」と「２」は定理ではない．

なお「１」と「２」は同じ意味ではなく
反例はNo.2さんが示している通り.
日本語的な意味でも
「１」と「２」はまったく違う.

定理の形にするのであれば
「１」ならば「２」
である
ということ（これはいわゆる「自明」）．

重要なのは，ある特定の条件のもとでは
「２」ならば「１」
ということが成り立つということで，
そのための条件は
例えば，
fとgがそれぞれ多項式であり，
fとgの次数は高々2次ということ．
なんでこれが意味があるかというと
「すべてのx」に対して示すのに
実際には，なにか「三つのx」だけを考えればすむ，
全部じゃなくて三つでOKと，きわめて簡略化されることが理由．

B-juggler · Answer

こんばんは。
少し落ち着いてくださいよ。

はい深呼吸～～。

代数学の非常勤講師として、説明をさせてもらいますね。

恒等式の定義を。
『f(x)=g(x)がxにどんな値を代入しても成り立つ』
これだけです。　もうちょっとちゃんと書くと、

ｆ（ｘ）≡ｇ（ｘ）　これでＯＫです。

三本線のイコールは前にも説明させてもらったよね。

これしかありません。

引用してきましたよ。
＞２番はxの異なる３つの値α、β、γを代入しても成り立つということですよね。これは要するにどんな値を代入しても成り立つに含まれますよね。

これは、２次方程式のときは、成立しそうな感じ。
　＃危ういけどね。
ｆ（ｘ）もｇ（ｘ）も　次数は書かれていませんね。
なので、これは、恒等式とはいえませんよ。

言えるのは、これだけ。
ｆ（α）＝ｇ（α）　，ｆ（β）＝ｇ（β）　，ｆ（γ）＝ｇ（γ）

別のθかなにかを取ってみると、
ｆ（θ）≠ｇ（θ）　かも知れない。
　＃多分、α・β・γ　以外は一致しない。

いいかな？　違いは分かるよね。

定理でもなんでもないよ。
　＃２次方程式に限れば、一応ＯＫとするのかな？
　＃ダメな気もするけどね。

恒等式とは、あくまで、すべてのｘに対して　成立することだからね。

いい？　あくまで全てだよ。

恒等式とは？　もう一回ちゃんと抑えて見て？

レベルが高いのは知っている。だから分かるはずだよ。
落ち着いて、噛み砕いていこう、一個一個だよ。

178-tall · Answer

>１f(x)=g(x)がxにどんな値を代入しても成り立つ
　　　↓
　　f = g

>２xの異なる３つの値α、β、γについてf(x)=g(x)
　　　↓
f = g なら２が成立ちます。
けど、f ≠ g でも成立する場合があり得ます。

alice_44 · Answer

少し前から、この件に関する質問を
繰り返していますね。
今回のように、何が訊きたいのかを
質問文にきちんと表現できない場合、
プロフィール頁の「質問履歴」
を「公開」に設定してあると、
貴方が何に躓いているのか
理解する材料になります。

koko_u_u · Answer

>貴方は前にも、補足を要求して、補足したにもかかわらず、回答しませんでしたね。

そうだっけ？ちなみにどれ？

ziziwa1130 · Answer

その答えは、先ほどの回答の反例を見れば分かる筈です。

ziziwa1130 · Answer

関数y=f(x)とy=g(x)のグラフを考えてみて下さい。
１の場合には2つのグラフが完全に一致していなければなりませんが、２の場合には完全一致していなくても、少なくとも(α,f(α))、(β,f(β))、(γ,f(γ))の3店で交わっているか接しているという意味ですよ。当然１ならば２は真ですが、２ならば１は偽です。
反例
f(x)=3x^3-3x、g(x)=0
この場合、α=-1、β=0、γ=1
２ではありますが、１ではありません。

koko_u_u · Answer

まずは定理を完全な形で記述するところから始めてください。
補足にどうぞ。

恒等式の定理の疑問

別に補足を要求した人がその補足に返答しなければならん

こんばんは。

>１f(x)=g(x)がxにどんな値を代入しても成り立つ

少し前から、この件に関する質問を

この回答への補足

>貴方は前にも、補足を要求して、補足したにもかかわらず、回答しませんでしたね。

その答えは、先ほどの回答の反例を見れば分かる筈です。

関数y=f(x)とy=g(x)のグラフを考えてみて下さい。

この回答への補足

まずは定理を完全な形で記述するところから始めてください。

この回答への補足

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