整数問題についてです。 数検2級の問題に L,m,nは全て奇数で、 L^2+m^2+n^2=2011

整数問題についてです。
数検2級の問題に
L,m,nは全て奇数で、
L^2+m^2+n^2=2011
1<=L<m<n
を満たす、すべての組みを求めなさい。
という問題があるのですが、解答を見てもよくわかりません。
途中式や考え方を教えて欲しいです！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/21 00:01

L,m,n が全て奇数で 1 ≦ L < m < n ならば、

L = 2a-1, m = 2b-1, n = 2c-1 と置いて
a,b,c は整数で 1 ≦ a < b < c.
代入すると、 L^2 + m^2 + n^2 = 2011 は
a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) = 502 と変形できる。

1 ≦ a < b より a(a-1) ≧ 0, b(b-1) ≧ 2 なので、
c(c-1) ≦ 500.
これを満たす c の範囲は c ≦ (1+√2001)/2 ≒ 22.8
k = 1,2,3,...,22 に対して k(k-1) の値をリストすると、
k　　k(k-1)
1　　0
2　　2
3　　6
4　　12
5　　20
6　　30
7　　42
8　　56
9　　72
10　90
11　110
12　132
13　156
14　182
15　210
16　240
17　272
18　306
19　342
20　380
21　420
22　462
この中から 3 個足して 502 になる組み合わせは
502 = 12+110+380 = 20+210+272 = 110+182+210
の 3 通りで、対応する解は
(a,b,c) = (4,11,20), (5,15,17), (11,14,15).
すなわち
(L,m,n) = (7,21,39), (9,29,33), (21,27,29).