一次不定方程式について質問です。 例えば、4x + 7y ＝ 1 の整数解を全て求める問題です。 式

一次不定方程式について質問です。
例えば、4x + 7y ＝ 1 の整数解を全て求める問題です。
式変形をしていった後、4(x - 2) ＝ -7(y + 2) にたどり着くと思います。
その後、解答では、x - 2 ＝ 7k としていましたが、何故、-7k ではないのでしょうか？
「4(x - 2)は7の倍数だが、4ではそれが解消できないため (4には7の要素がないため)、(x - 2)が7の倍数になる」という考え方と同様に、「4(x - 2)は−の要素を含むが、4ではそれが解消できないため (4には−の要素がないため)、(x - 2)が−の要素を含むことになる」と考え、x - 2 ＝ −7k と捉えるべきではないでしょうか？
回答よろしくお願いします。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/22 11:03

4x + 7y ＝ 1…①

その解の一つが　(x,y)=(2,-1)
ゆえに
4・2+7・(-1)=1…②
①ｰ②より
4x-4・2+7y-7・(-1)=0
⇔4(x-2)+7(y+1)=0
⇔4(x-2)=-7(y+1)…③
⇔4(x-2)=7(-y-1)…④
貴方の導いたのはちょっと違っている

で④において、４、７が互いに素だから
x-2=7k
これなら腑に落ちるはず
このとき　x=7k+2
k=1から順次代入していけば
x=7+2=9,14+2=16,23,30・・・

➂を真に受けて、x-2=-7k'と置いたとしても
x=2-7k'
k=-1のときは
x=9
k=-2のときは
x=16
以下　23,30・・・と続く
結局、両者ともｘは同じ数字を表しています
だから後者を誤りとは言えませんが、見栄えはマイナス符号が無いぶん前者のほうがいいですよね

で、➂から　x-2=-7k'が出てきてしまっても
k=-k'とおけば
x-2=-7k'=7(-k')=7kであることに気がつけば
模範解答の形までもっていくことが可能です

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/21 21:15

4x+7y=1 →　4*2+7*(-1)=8-7=1 ですよね。

つまり 4(x-2)=-7(y+1) ですよね。
あなたが云う通り k を任意の整数として (x-2)=7k となります。
つまり x=7k+2 。
これを上に式に 代入すると、
4*7k=-7(y+1) →　4k=-y-1 →　y=-4k-1 。

(x-2)=-7n とすれば、x=2-7n で y=4n-1 。
これは 上の x=7k+2, y=-4k-1 を k=-n としたものですね。
書き方が違うだけで、同じ意味です。
又 出発点が (x, y)=(2, -1) から始めましたが、
(x, y)=(-5, 3) から始めれば、また違った書き方になります。

No.1 回答者： isoworld 回答日時： 2020/12/21 20:26

4x + 7y ＝ 1 の整数解を全て求める過程では、4(x - 2) ＝ -7(y + 1)ではありませんか？

それはともかく、k=-Kと思えば、x - 2 ＝ 7Ｋ になります。