２乗の入っている連立方程式の解き方

次の連立方程式の解き方をお教えください。
x^2 - 4xy + 3y^2 = 21
xy + y^2 = 2


あと、もう一つです。
(x+1)^2 y = 4x
(y+1)^2 x = 4y

（累乗の指数は、みんな２です。）


私は因数分解しようとしたのですが、どのように因数分解すればよいのかわかりませんでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2003/07/13 19:04

一つ目の方は

y≠0であるから、下の式をx=の形にできます。これを上の式に代入すれば解けます。もっと簡単なやり方があると思いますが、他に思い付きません。
(あるいは下の式をxy=2-y^2として、上の式をy^2倍してから代入すれば、y≠0である事を確認する必要はなくなります)

二つ目の方は
(上の式)-(下の式)を整理すると(x-y)(xy-5)=0
よってx=y or xy=5

x=yの時は、最初の式にx=y代入すれば、x、yが求まります。

xy=5の時は、最初の式にxy=5を代入すると、x+yが求まります。
x,yはt^2-(x+y)t+xy=0の解であることから、x、yが求まります。

この回答への補足

みなさん、正しいと思うのですが、

１つめのほうはNo.2の方とNo.3の方、
２つめのほうはNo.2の方
のやり方が、私には一番参考になりました。

ありがとうございました。

補足日時：2003/07/15 08:39

No.5 回答者： mirage70 回答日時： 2003/07/13 20:55

(x+1)(y+1)=±4 のときの、(x+1)(y+1)=-4の場合を計算していませんでした。

同様に計算しますと、y=-5±2√5となり、
y=-5+2√5のとき x=-5-2√5
y=-5-2√5のとき　x=-5+2√5 となります。

No.4 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/13 19:30

前半はｙ≠０だから２式それぞれｙ＾２で両辺を割って

Ｘ＝ｘ／ｙ，Ｙ＝１／ｙ＾２とおいてもいいが地道にやっても余り変わらないでしょう。

後半はｘ＝ｙ＝０かｘ≠０かつｙ≠０で有ることをふまえて
第１式は両辺をｙｘ＾２で割って
第２式は両辺をｘｙ＾２で割って
Ｘ＝１／ｘ，Ｙ＝１／ｙとすればいいとおもったが地道にやっても変わらないでしょう。

No.3 回答者： mirage70 回答日時： 2003/07/13 19:04

x^2 - 4xy + 3y^2 = 21 …(1)

xy + y^2 = 2 …(2)
については、数字を消すことを考えればよいです。
(1)×2…(3)
(2)×21…(4)
(3)-(4)=2x^2-29xy-15y^2=0
(2x+y)(x-15y)=0
よって、x=-y/2　またはx=15y
x=-y/2のときxy+y^2=2へ代入すると、y^2=4よってy=±2
y=2のとき、x=-1
y=-2のとき、x=1
同様にx=15yのとき　y=±(√2)/4
y=(√2)/4のとき　X=(15√2)/4
y=-(√2)/4のとき　x=-(15√2)/4

(x+1)^2 y = 4x …(a)
(y+1)^2 x = 4y …(b)
(a)×(b)より計算します。
(x+1)^2(y+1)^2xy=16xy
x=y=0のとき成立しますので、x=y=0は１つの解である。
(x+1)(y+1)=±4
x+1=4/(y+1)のとき、即ちx=(3-y)/(y+1)のとき
(b)へ代入しますと、4y=(3-y)(y+1)=-y^2+2y+3
∴　y^2+2x-3=(y+3)(y-1)=0
よって、y=1　またはy=-3
y=1のとき　x=1
y=-3のとき　x=-3
及び最初の　x=y=0

No.1 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/07/13 17:44

x^2 - 4xy + 3y^2 = 21

xy + y^2 = 2

一文字消去してみてください
下の式からx=の式にして上の式に代入という方法。

もう1つのほうも一文字消去でできます。
(x+1)^2 y = 4x
(y+1)^2 x = 4y

下の式をｘ＝にして上の式に代入

もっとうまい方法もあるかもしれませんが、とにかく文字をひとつにすれば何とかいけるのでは。