数学についてです。 (1-a)^n-a^n が写真のようになる理由が分かりません。 ご教示お願い致し

数学についてです。
(1-a)^n-a^n が写真のようになる理由が分かりません。
ご教示お願い致します。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/12 18:42

A^n - B^n はA-Bで割りきることが出来ます。

その商には法則性があります。
数学的帰納法を利用してそれを示すことは出来ますし、等比数列の和の公式を利用して示すことも可能です。
ざっくりと説明すればそういうことです。
1-a-a=1-2aですのであなたの質問の式は1-2aで割りきれるのです。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/12 18:42

次の公式を使う。

xⁿ−yⁿ=(x−y)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²y+⋯+xyⁿ⁻²+yⁿ⁻¹)

この公式にx=1-a、y=aを代入すると
(1-a)ⁿ−aⁿ={(1-a)−a)((1-a)ⁿ⁻¹+(1-a)ⁿ⁻²a+⋯+(1-a)aⁿ⁻²+aⁿ⁻¹}

この右辺を整理すると、(1-a)−a=1-2aだから
(1-a)ⁿ−aⁿ=(1-2a)( (1-a)ⁿ⁻¹+(1-a)ⁿ⁻²a+⋯+(1-a)aⁿ⁻²+aⁿ⁻¹ )