整数問題2 （難題問題集より）

整数問題2 （難題問題集より）

質問

3^n=k^2-40 を満たす正の整数の組(k,n)を全て求めよ

宜しく御願いします.

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/07/19 14:08

nは偶数です。

nを奇数とすると、3ⁿ=(4-1)ⁿなので、展開式は定数項の位置が-1になります。
それによりk²は、4×整数+39という形となり、kは奇数。

また、逆にk=2m+1として与式に代入しても、左辺と右辺で、偶奇が一致しません。

なのでnは偶数。
で、nは整数aを用いて、n=2aとして、元の式に代入すると
3ⁿ=k²-40
3²ª=k²-40
(3ª)²=k²-40
k²-(3ª)²=40
(k+3ª)(k-3ª)=40 ①

k+3ª、k-3ªは整数なので、①を満たす(k+3ª,k-3ª)の組み合わせは、
掛けて40になる訳なので
=(40,1)(20,2)(10,4)(8,5)　の4通りの可能性。

この中で、(40,1)(8,5)ではkが整数にならないので、
=(20,2)(10,4)　の2通り　②

②をそれぞれ解けば結果が出ます。

(k+3ª,k-3ª)=(20,2)の時、
k=11
a=2、よりn=4

(k+3ª,k-3ª)==(10,4)のとき、
k=7
a=1、よりn=2


答え：(k,n)=(11,4)(7,2)

この回答へのお礼

t_fumiakiさん、

今回も、ご回答有難うございました、

minamino

お礼日時：2017/07/20 08:11