楕円の極座標変換で、余弦を使わずに求めることはできますか？ 楕円の焦点を原点とする極座標を求めたいの

楕円の極座標変換で、余弦を使わずに求めることはできますか？
楕円の焦点を原点とする極座標を求めたいのです。原点とする焦点を（ae,0）とすると、
x=ae+rcosθ
y=rsinθ
と置けるので、これを(x/a)^2+(y/b)^2=1
に代入して求めようとしたのですが、全くまとめることができず求まりませんでした。
計算の仕方が悪いのでしょうか？
それとも余弦を使わないとできないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すいません書き方が悪かったです。余弦定理を使わないということです

    補足日時：2021/07/25 15:13

• このような図で考えました。

  
    補足日時：2021/07/25 20:33

• このようになってしまうのですが、
  どこから間違っているのか、もしくはまとめ方が何かあれば教えていただきたいです。
  お願いしますm(_ _)m

  
    補足日時：2021/07/26 08:45

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/26 15:19

あなたの計算で分母を払ったところまではあっています。

しかしそのつぎからがいけない。
あとはつぎのようにしてください：
まず、焦点の座標√(ａ²－ｂ²)と離心率ｅの関係
ｅ＝√(ａ²－ｂ²)/ａ　とｂ²＝ａℓより
ａ²ｅ²＝ａ²－ａℓと
ａℓ＝(1－ｅ²)ａ²　の関係が出る。
それで分母を払った式の左辺第一項目のかっこの２乗を展開して
ａ²ｅ²をａ²－ａℓでおきかえてからかっこをはずす。
すると両辺にａ³ℓの項が出るからそれを消す。
そのあとａℓｒ²cos²θの項のａℓを(1－ｅ²)ａ²でおきかえれば
左辺の各項にａ²がかかるからこれをはらえば
ｒ、θ、ℓ、ｅだけの式になるから
これをｒの二次方程式にまとめ上げる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！
やっとできました〜〜(≧▽≦)
こんなの自分一人では絶対無理でした(;_;)
ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2021/07/26 19:30

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/25 22:02

う～ん、その図でいいし、代入の仕方もそのとおりなんだけど

計算はかなり手ごわい笑
ｂ²＝ａℓ　でℓをきめて
その代入式からごりごりやって、
最終的にｒの二次方程式
(1－ｅ²cos²θ)ｒ²＋2rℓｅcosθ－ℓ²＝0　が出てくる。
これを解の公式で解いてｒ＞0に注意すれば
ｒ＝ℓ/(1＋ｅcosθ) が出ます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やってみましたがうまく行きませんでした(;_;)

お礼日時：2021/07/26 08:43

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/25 20:25

＞ 計算の仕方が悪いのでしょうか？

x = ae + r cosθ
y = r sinθ
と置いたら、(x,y) は楕円じゃなく、円になる。

この回答へのお礼

補足の図のように考えたのですが、これだと円になるのですか？
なぜでしょうか？
すいません…教えていただきたいですm(_ _)m

お礼日時：2021/07/25 20:33

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/25 15:12

最終的には

ｒ＝ℓ/(1＋ｅcosθ)　という形になるわけだから
cosθは消せない。