３次方程式を早く因数分解する方法

x^3-11x+20=0みたいな式を早く(x+4)(x^2-4x+5)=0にする方法を教えて下さい。因数定理を利用した解法でP(x)=x^3-11x+20でやったのですが１～６まで試しましたが解けません。大学入試で出た場合、タイムロスか空白のどちらかに、なってしまいます。簡単に解く又は、P(x)のxがすぐ出せるコツを教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/16 22:59

3次式の因数定理の代入候補は、以下の通りです。

(1)定数項の約数とそれらにマイナス符号を付けたもの。
(2)3次の係数が1でない場合は、3次の(1)の候補を3次の係数の約数で割ったものも候補に加える。

今回の問題の場合は(2)は該当しませんので(1)だけが候補です。
その意味では候補は#2さんのおっしゃる通りです。

1つ代入候補（aとする)が見つかれば、
#1さんの提案のように
(3)3次式を積み算で割り算するやり方
と
(4)強制的に因数(x-a)を括りだすやり方
があります。

(4)のやり方をやってみると
因数候補(x+4)が見つかったら
x^3-11x+20=x^2*(x+4)-4x^2-11x+20
=x^2*(x+4)-4x(x+4)+16x-11x+20
=x^2*(x+4)-4x(x+4)+5x+20)
=x^2*(x+4)-4x(x+4)+5(x+4)
=(x+4)(x^2-4x+5)
のような手順で、強制的に(x+4)を括りだせるようにして行きます。
この手順は分かりやすく順に少しずつ変形していく過程を書きましたが
実際の解答ではこんなに少しずつやらなくても途中は飛ばしても問題ありません。

この回答へのお礼

有り難う御座いました。

お礼日時：2011/08/16 23:57

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/08/16 22:25

x^2-11+20/x=0

として、
20/xが整数となる数を候補として計算すれば、より簡単に検算できます。

この回答へのお礼

有り難う御座いました。

お礼日時：2011/08/16 23:58

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/08/16 21:34

こんばんわ。

ここでも何度か同じような質問があったと思います。
で、ポイントとなるのは ±(定数項の約数)です。

いまの問題であれば、
20の約数である 1, 2, 4, 5, 10, 20とその負号がついたものが候補です。
それらを代入してゼロになるものを探していきます。

慣れてくると、係数の大きさなどからある程度メドが立てれるようになってきます。

この回答へのお礼

有り難う御座いました。

お礼日時：2011/08/16 23:59

No.1 回答者： otsugiri 回答日時： 2011/08/16 21:15

3次方程式を因数分解しようとするときは、

大体プラスマイナス5くらいまでxに当てはめます。
それでどこかで（仮にaとします）0になるのであれば、
その式は(x-a)で割り切れるということになります。

なので、(x^3 - 11x + 20) / (x-a)　を、
割り算の筆算にしてやります。すると2次方程式に
なりますので、そうすれば後は見れば因数分解
できるかどうかわかるでしょう。

ちなみにプラスマイナス5までと、1/2、1/3くらいまでは
試します。それでできなければ大体無理だと思います。

この回答へのお礼

有り難う御座いました。

お礼日時：2011/08/17 00:01