「y×０＝０」は必ず成り立つのですか？

この問題のポイントは、
１、∞×０＝０なのか
２、ｙに∞を代入することはいいのか
３、∞は数であるのか

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/08/08 12:35

>>∞は数であるのか

質問者さんは「数」とは何だとお考えですか。有理数、実数、複素数というような、数の体系の中に∞は含まれていません。四則等の演算が可能な数体系に∞を含めることは困難です。もし、可能だというなら、やって見せて下さい。ただし、点集合として、位相的な視点から、実数や複素数に∞を含めることは日常的に行われていることです。∞を含めることにより、アレキサンドロフの意味でコンパクト化できますから、解析学を見通しのよい形にすることができ、体系的な議論が可能となります。
でも、「数」とは何かというのは難しい質問ですね。超限数まで入れてよいなら∞だけでは正確ではないですよね。無限にもいろいろあります。たとえば、
3×aleph0=aleph0
aleph0×aleph0=aleph0
2^(aleph0)=aleph
ですが、たぶん、
aleph0×０=０
でしょうね。でもこれらの関係式も両辺をaleph0で割るというようなことはできません。何としても割り算は定義できません。

No.2 回答者： yo-check 回答日時： 2008/08/08 14:24

極限の話をしているのなら

1．∞×０はこのままでは不定

No.3 回答者： mojitto 回答日時： 2008/08/08 14:48

まずは３から…

例えば
x / x = 1
ですが、
∞ / ∞ =
はどうなるでしょう？
約分して１になるでしょうか？
分子と分母のそれぞれの∞が等量でないとダメですよね？
（特定の）数としての扱いはできないと思います。

ゆえに２は「yを無限大にしたらどうなるか」という問いは成立しても、数式として扱うのは難しいと思います。
（もっと高等な数学では扱うのかもしれませんが…）

１については仮に∞というのが数として扱えたとして、∞が０個なので答えも０じゃないかなと思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2008/08/08 16:13

まず質問の表題から。

＞「y×０＝０」は必ず成り立つのですか？

ｙ が数なら成り立ちます。

　以下順番に。

＞１、∞×０＝０なのか

　∞は数ではありませんから、この計算式そのものが無意味です。
　ただし、高校程度の参考書などで便宜的に極限に関する計算を象徴的にこの記号で表す場合がありますが、その場合、その計算によります。

＞２、ｙに∞を代入することはいいのか

　すでに書いているように、∞は数ではないので、「代入」のような操作はできません。

＞３、∞は数であるのか

　数ではありません。