集合論の問題

次の条件が成り立つための定数a,b,cの必要十分条件を求めよ。
すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になる。

教えてほしいところ
解説ではx=-1,1,0からa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lとしてこれを逆に代入して同値性を確保して必要十分条件と出していました。
しかし、それは、あくまでx=-1,1,0から出した条件であって果たしてそれ以外のｘの値に対して同様になるとは限りませんよね。
つまりa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2l→すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になるはなり立ちますが
すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になる→a+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lが成り立つかx=1,-1,0だけではあやしい気がします。それならすべてでなく、x=1,-1,0についてax^2+bx+cの値が偶数になるという問題に対しての必要十分条件だとしか思えません。
集合論は難しくて複雑です。誰か、解説してください。

No.5 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/03/26 12:43

＞それは、あくまでx=-1,1,0から出した条件であって果たしてそれ以外のｘの値に対して同様になるとは限りませんよね。

まったく、そのとおり。にもかかわらずそれ以降の思考がおかしい。

すべての整数に対して成立するんだから、x=-1,1,0　に対しても成立する。←　必要条件
ところが、これは質問者の指摘のとおりに、高々3つの値に対して成立したに過ぎない。
全ての整数に対して成立する保証はない。
だから、x=-1,1,0　に対して成立した条件が、全ての整数に適用できるなら、それが求める答えになる。←　十分条件。
従って、必要十分条件になる。

f(x)＝ax^2+bx+c が全ての整数に対して偶数になるから、x=-1,1,0　に対しても偶数になる。
m、n、k　を整数としてf(0)＝c＝2k、f(1)＝a+b+2k＝2m、f(-1)＝a-b+2k＝2n　となる事が必要条件。
(断っておくが、何もx=-1,1,0　でなくても、x=1,2,3でもよい。x=-1,1,0　の方が計算がしやすいだけの事)
a＝m＋n-2k、b＝m-n、c＝2k　であるから、f(x)＝ax^2+bx+c＝(m＋n-2k)x＾2＋(m-n)x＋2k＝mx(x+1)＋nx(x-1)＋2k(1－x＾2)になる。
x(x＋1)　も　x(x-1)　も　連続した2整数の積から2の倍数、2k(1－x＾2)ももちろん2の倍数。
よって、この時　f(x)は常に偶数になる。

従って、m、n、kを整数として、a＝m＋n-2k、b＝m-n、c＝2k　である事が求める必要十分条件である。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/26 09:04

A No.1 で解決しなかった理由が解らない。

＞ x = -1, 1, 0 から a+b = 2(m+l), a-b = 2(n-l), c = 2l として

連立一次方程式を解いただけでは、

＞ それは、あくまでx=-1,1,0から出した条件であって
＞ 果たしてそれ以外のｘの値に対して同様になるとは限りませんよね。

ということになるので、次に

＞ これを逆に代入して同値性を確保

したのでしょう？

＞ 同値性を確保して必要十分条件と出し

たということは、

＞ それ以外のｘの値に対して同様になる

ことを保証したということです。何も不足していませんよ。

No.3 回答者： WiredLogic 回答日時： 2011/03/26 00:41

x = -1,1,0 を代入して、

a+b+c, a-b+c, c がすべて偶数、から、
a+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2l を出すところは、
十分条件を求めているのではなく、
必要条件を求めているのです。

x = -1,1,0 を代入しただけでは、確かに、
xに任意の整数値を代入したとき、ax^2+bx+c が
偶数になる保証はまったくありません。

ただ、この３つの場合に、偶数にならないようでは、
任意の整数値云々の話をする以前に、門前払いになる。
せめて、これだけは成り立っていないと、という条件で、
必要条件、ということです。

で、求めた必要条件を、元の式に代入すると、任意の
整数値で偶数になる、という条件(＝十分条件)も、
満たしてしまう、

ということで、求めた条件は、単に必要条件でなく、
「結果的に」十分条件にもなっていた、ということです。
これなら、必要十分条件と言っても大丈夫ですよね？

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2011/03/26 00:36

> つまりa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2l→すべての整数ｘについて

> ax^2+bx+cの値が偶数になるはなり立ちますが
本当にこれは明らかですか?文章を拝見するに、多分全く
逆に勘違いしているように見えます。

　「全ての整数xで f(x)=ax^2+bx+c の値が偶数」
->「（他のxについても成り立つ必要があるが、少なくとも）
　　x=-1, 0, 1の時も f(x)は偶数」
->「f(-1) = 2n, f(0) = 2l, f(1) = 2m となる整数l, m, nがある」
->「a-b = 2(n-l), a+b=2(m-l)（符号確認してください）,
　　c = 2l となる整数l, m, nがある 」

であって、逆に
「a-b = 2(n-l), a+b=2(m-l), c = 2l となる整数l, m, nがある 」
-> 「全ての整数xで f(x)=ax^2+bx+c の値が偶数」
ことを示す必要があるのでしょう？

ついでに
「a-b = 2(n-l), a+b=2(m-l), c = 2l となる整数l, m, nがある 」
という条件（特にa, bに関する条件）は余りに分かりにくいので、
もう少し整理して下さい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/25 23:49

これのどこが「集合論」なんだろう....

さておき, 「逆に代入して同値性を確保」の部分が適切に書いてあるならいいはず.

この回答への補足

つまりa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2l→すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になるはなり立ちますが
すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になる→a+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lが成り立つかx=1,-1,0だけではいえないはず。
全ての整数で偶数になることはいえるが、すべての整数でa+b,a-b,cが偶数であるという保証はどこにもない。つまり、すべての整数ｘについてax^2+bx+cの値が偶数になる→a+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lをx=1,-1,0だけで出したならば不足ということです。

補足日時：2011/03/26 00:03