一般解

(x^2+4)dy/dx=2 右記の式の一般解の求め方を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• ∫{ 2/(4u^2 + 4) } 2du　左記の式の2duは∫{ 2/(x^2 + 4) }dxのdxにも
  x=2uを置換したで宜しいでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/12/07 18:01

• 式の書き方が良く分からないのですが、右記の物で宜しいとすると、何故dx=｛2/cos^2θ｝dθに為るのでしょうか。要するに言いたいことは何故二分のコサイン２乗シータディーシータがディーエックスに為るのかですが。

    補足日時：2023/12/08 04:40

• ＞dx とか dθ とかを単独で扱うことを正当化する議論は、
  大学の数学では扱います。
  
  この問題は一応大学の物なのですが。

    補足日時：2023/12/08 15:06

No.8 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/08 19:22

補足2023/12/08 04:40　について

dx={2/cos^2θ}dθ
になるのは

x=2tanθ　とおいたから

↓両辺をθで微分すると

dx/dθ=2/cos^2θ

↓

dx={2/cos^2θ}dθ

----------------
二分のコサイン２乗シータ ではありません

コサイン２乗シータ分の２
です

この回答へのお礼

良く分かりました、有難うございます。

お礼日時：2023/12/09 03:10

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/08 18:26

＞ この問題は一応大学の物なのですが。

微分形式とその積分についてこの場で解説するのは、
さすがに分量が多すぎます。
教科書に自分で目を通しましょう。

微分形式を知っているなら、一般に du,dθの間に
du = (du/dθ)dθ という関係が成り立ちます。
右辺の du/dθ は、高校で出てきたものと同じです。
これを使って式から du を消去すれば、
高校でも出てきた置換積分の公式
∫ F du = ∫ F (du/dθ) dθ が現れます。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/08 09:20

＞ 何故dx=｛2/cos^2θ｝dθに為るのでしょうか。

dx とか dθ とかを単独で扱うことを正当化する議論は、
大学の数学では扱います。高校生の間は、あくまで
dx/dθ でヒトカタマリの記号です。
No.1 No.5 は、そこに配慮した書き方をしたつもりです。

∫{ 1/(u^2 + 1) }du = ∫{ 1/((tanθ)^2 + 1) } (du/dθ)dθ
は、置換積分の公式どおり u を θ に置き換えたもの。

∫{ 1/((tanθ)^2 + 1) } (du/dθ)dθ
= ∫{ 1/( 1/(cosθ)^2 ) } ( 1/(cosθ)^2 )dθ
は、du/dθ = (d/dθ)tanθ = 1/(cosθ)^2 です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/07 23:08

＞ 2duは∫{ 2/(x^2 + 4) }dxのdxにも

＞ x=2uを置換したで宜しいでしょうか。

そうですよ。置換積分の基本どおり、
∫{ 2/(x^2 + 4) }dx = ∫{ 2/(x^2 + 4) }(dx/du)du
　　　　　　　　　= ∫{ 2/((2u)^2 + 4) }(2)du
ですからね。

u = tanθ で置換したときの
∫{ 1/(u^2 + 1) }du = ∫{ 1/((tanθ)^2 + 1) } (du/dθ)dθ
　　　　　　　　　= ∫{ 1/( 1/(cosθ)^2 ) } ( 1/(cosθ)^2 )dθ
も、同様です。

最大の問題は、その u = tanθ をどこから思いつくか
なのですが...　ま、結局知ってないとね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/07 20:28

(x^2+4)dy/dx=2

dy/dx=2/(x^2+4)
y=∫2/(4+x^2)dx
y=arctan(x/2)+C

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/07 07:56

ついでに細かい話ですが、左側に書いてあるわけですから「右記の式」ではなくて「左記の式」と書くべき所だと思います。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/07 07:55

ひねりも何もない微分方程式ですから単純に

dy/dx=f(x)

の形に変形してから積分するだけで求まりますが。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/07 07:53

これは、∫{ 1/(u^2 + 1) }du = arctan u + (積分定数) を知ってるかどうか

だけの話っぽい。知らないと、考えてもちょっとやそっとでは思いつかない。
知っていれば...

y = ∫(dy/dx)dx = ∫{ 2/(x^2 + 4) }dx
　　　　　　　= ∫{ 2/(4u^2 + 4) } 2du = ∫{ 1/(u^2 + 1) }du　；x = 2u で置換
　　　　　　　　　　　　　　　　　　= arctan u + C = arctan(x/2) + C　；Cは定数

u = tanθ で置換積分することで
∫{ 1/(u^2 + 1) }du = ∫{ 1/((tanθ)^2 + 1) } (du/dθ)dθ
　　　　　　　　　= ∫{ 1/( 1/(cosθ)^2 ) } ( 1/(cosθ)^2 )dθ
　　　　　　　　　= ∫{ 1 }dθ
　　　　　　　　　= θ + C　；Cは定数
　　　　　　　　　= arctan u + C
と表面上導出したっぽいふりをすることはできるが、
結論ありきであることに変わりはない。

この回答へのお礼

∫{ 2/(4u^2 + 4) } 2du　左記の式の2duは∫{ 2/(x^2 + 4) }dxのdxにも
x=2uを置換したで宜しいでしょうか。

お礼日時：2023/12/07 17:53