漸近展開

①√ｌｏｇ(X+1)のｘ→＋∞のときのo(1/{x^2√logx})までの漸近展開を求めよ。
②(1+x)^（1/x）のｘ→＋∞のときのo(1/x^2)までの漸近展開を求めよ。

③√log(1+1/√ｘ）のo(x^(-5/4))までの漸近展開を求めよ。
どなたか教えてください。
お願いします。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/26 22:24

①√log(x+1)のｘ→＋∞のときのo(1/{x^2√logx})までの漸近展開を求めよ。

②(1+x)^(1/x)のｘ→＋∞のときのo(1/x^2)までの漸近展開を求めよ。
③√log(1+1/√x)のo(x^(-5/4))までの漸近展開を求めよ。

この問題の正しい答えはわからないが、出題に何か間違いがあるのではないかという疑いがある。
その理由を以下に述べる。
１、漸近展開は通常下記のように説明される。質問の問題は、通常の説明と違う所がいくつかあるので、
２項に疑問点を書く。
二つの関数f(x)とg(x)があって、f(x)は複雑で、これを直接計算することがむつかしいとする。
g(x)は、f(x)より簡単で計算しやすいとき、g(x)をf(x)の近似値として使おうとするとき、
誤差はe(x)=g(x)－f(x)となる。誤差が小さくて e(x)=o(g(x))のとき、
f(x)~g(x)と書いてg(x)はf(x)の漸近展開という。
このとき
lim(x→∞) f(x)/g(x)=1__(1)
lim(x→∞) e(x)/g(x)=0＿(2)
g(x)は、f(x)より簡単で計算しやすければよいので１通りとは限らない。
例えば、f(x) = 3x2 + 4x − 5 においてxを∞に飛ばした時のfの挙動を考えるとxが十分大きいところでは第一項がその他の項に比べて極端に大きく、二項目以降はいわば「誤差」にすぎなくなる。したがって f の挙動は「定数×x2」とほぼ等しくなる。ランダウのＯ-記法(ビッグオー)を用いる事でこの事実を
f (x)=O(x2)
と書き表す事ができる。
このようにgはfよりも簡単な関数(上の例ではx2)が用いられる事が多い。
また前述の関数 fは二次関数であるので、x が十分大きいところでは x3よりはるかに小さい。ランダウのo-記法(リトルオー)を用いる事でこの事実を
f(x)=3x2+o(x 2 )
と書き表す。
誤差e(x)= 4x − 5はx→∞のとき、e(x)→∞となる。
それでも、上記(1)(2)は成り立っているので、f(x)~g(x)であり、g(x)はf(x)の漸近展開である。
誤差e(x)は∞でも、g(x)の∞に比べれば小さくて０のようなものだ、ということを(2)は示している。
２、
第1の疑問は、①②③の問題のどれもf(x)があまり複雑な関数ではないことである。
f(x)の値を計算したければ、f(x)から直接計算することは、たいして困難ではない。
ほかのg(x)を使う必要性はない。
漸近展開を使う有名なn!の近似式の次のスターリングの公式の例では、n!≒√(2πn)(n/e)^n
f(x)=n!を計算するのに、n=100なら、掛け算を100回しなければならない。
第2の疑問は、①②③の誤差e(x)の項は、①：o(1/{x^2√logx})、②：o(1/x^2)、③o(x^(-5/4))
となっており、①②③のどれも、x→∞のときe(x)→0であることである。
それに対して、スターリングの公式や、上記のf(x) = 3x2 + 4x − 5の例では、e(x)→∞となる。
誤差がe(x)→∞となるのは好ましい方向ではないが、ほかによい近似方法がないから、漸近展開をつかうのであって、問題の①②③ではf(x)自身をg(x)として使えば、誤差は0となるから、それが最善の近似であり、漸近展開の条件である式(1)(2)も満足する。その意味では、この3問ともf(x)が解である。
これは、きわめて不自然な問題設定である。
そして第3の疑問は、上述のようにg(x)は１通りとは限らない。1通りとは限らない答えの中の何を正解とするのかが不明である。普通の判断基準は、g(x)が簡単で、誤差e(x)が小さいことである。
f(x)=g(x)なら、誤差は0であり、そしてg(x)はたいして複雑ではない。
誤差が０でなくて、g(x)がf(x)より複雑だったら、式(1)(2)を満足していたら、それも漸近展開であるとはいえるが、漸近展開の目的の、近似法としては意味がなく、問題のための問題である。