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複素関数解析のローラン展開について

1/(sin z)^2 を z=0 でローラン展開せよという問題です。
sin z のマクローリン展開をどのように使えばいいのかわかりません。

そのあたりの説明もできればお願いします。

A 回答 (4件)

実際にやってみよう。


手短に、第三項で打ち切ることにして、

sin z = z - (1/6)z^3 + (1/120)z^5 + O(z^7)

(sin z)^2 = { z - (1/6)z^3 + (1/120)z^5 + O(z^7) }^2
= z^2 + {(-1/6)+(-1/6)}z^4 + {(1/120)+(-1/6)(-1/6)+(1/120)}z^6 + O(z^8)
= z^2 - (1/3)z^4 + (2/45)z^6 + O(z^8)

1/(sin z)^2 = 1/{ z^2 - (1/3)z^4 + (2/45)z^6 + O(z^8) }
= 1/z^2 + { -(1/z^2){ 分母 } + 1 }/{ 分母 }
= 1/z^2 + { (1/3)z^2 - (2/45)z^4 + O(z^6) }/{ 分母 }
= 1/z^2 + 1/3 + { -(1/3){ 分母 } + { (1/3)z^2 - (2/45)z^4 + O(z^6) } }/{ 分母 }
= 1/z^2 + 1/3 + { (1/15)z^4 + O(z^6) }/{ 分母 }
= 1/z^2 + 1/3 + (1/15)z^2 + { -(1/15)(z^4){ 分母 } + { (1/15)z^4 + O(z^6) } }/{ 分母 }
= 1/z^2 + 1/3 + (1/15)z^2 + { O(z^6) }/{ 分母 }
= 1/z^2 + 1/3 + (1/15)z^2 + O(z^4)

項数を増やしても、手間が増えるだけで、やり方は同じ。
式中の O(z^n) は、特定の関数を表す表記ではなくて、
n 次以上の項からなるベキ級数の総称として、こう書く。

割り算の部分は、縦式で書いたほうが見やすいだろうが…
パソコンのテキストでは書き難く、上記のようにしたが、
自分で縦式での除算または組み立て除法を試みて欲しい。
自分の手でやってみれば、多項式の計算とあまり違わない
ことが体感できると思う。
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答えだけが欲しいなら、A No.2 のような展開は


(もちろん一般項ではないが)mathematicaなり
maximaなりの数式処理ソフトが出してくれる。
自分で数学がしたいなら、A No.1 のような
計算方法もあるよ…という話。
mathematicaだって、内部でナニガシカの
計算をしているのだし、それをできる人が
ブログラムにしたから、そのようなソフトが
あるのだしね。
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z^2/sin^2(z)をマクローリン展開すると



z^2/sin^2(z)
=1+ z^2 /3 +z^4/15 +2z^6 /189 +z^8 /675 +2z^10 /10395 +1382z^12 /58046625 + ...

1/sin^2(z) の z=0 でのローラン展開は z^2 で割って

1/sin^2(z)
=1/z^2 + 1/3 + z^2/15 + 2z^4 /189 +z^6 /675 +2z^8 /10395 +1382z^10 /58046625 + ...
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一般項は、難しいね。



sin x のマクローリン展開を考えれば、
1/sin x で x=0 が一位の極であること、
したがって、1/(sin x)2乗 で x=0 が二位の極
であることが判る。
後は、正則部分をどこまで展開するかだが、
それを有限次で打ち切って構わなければ、
sin のマクローリン展開も適当な所で打ち切って、
べき級数の割り算で 1/(sin x)2乗 の各係数を
求めればいい。

べき級数の割り算は、多項式の割り算とほぼ同様。
多項式の割り算は、割られる式の高次項から
順に消してゆくが、べき級数の割り算では、
割られる式の低次項から順に消してゆく
ことだけが異なる。
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