複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100 …
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/01 22:24

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、

>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき（q(z)=0がm重解を持つとき）
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/02 07:48

(z-a)~k f(z) が正則であるような最小の整数 k が、

正であるとき、z=a を f の k 位の極。
負であるとき、z=a を f の -k 位の零点
と言います。

この定義に沿って確認すればよい。
連続性だけでは、駄目です。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/02 01:20

lim[z→a](z-a)^m*f(z)　(m≧1)　が有限の値(≠0)に収束するときz=aがf(z)のm位の極であるといえます。

たとえば
f(z)=1/{1-cos(z)}
とすると、
lim[z→0]z^2*f(z)=lim[z→0]2/cos(z)=2
ですから、z=0はf(z)の2位の極であることがわかります。
(もちろん、1-cos(z)をマクローリン展開して一番低い次数の項がz^2の項であることから簡単にわかりますが)