No.1ベストアンサー
- 回答日時:
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
f(z)=1/(z^3+1) (zは複素変数)を考えて、積分路を以下のように取ってみると何か上手くいった。
実軸上(0,R) , 0<argz<2π/3 , Re^i(2π/3)と原点とを結ぶ直線で囲まれた扇形で考えた。
この様な扇形積分路でf(z)=1/(z^3+1)はz=e^(iπ/3)で1位の極である。
よってその点における留数は1/3e^(i2π/3)
・・・で計算が違っていなければ、実軸上とRe^i(2π/3)と原点とを結ぶ直線路での積分が残って
∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx - e^i(2π/3)∫[0,∞]{1/(x^3+1)}dx
(1-e^(i2π/3))∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx =2πi・留数
となる。
これを計算すると
∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx = 2π/3√3 (検算は任せる!)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動 2 2023/06/04 13:53
- 数学 f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 + 2 2023/06/12 20:25
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 数学 【全微分について】 z=f(x,y) の全微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy と表 1 2023/02/25 05:49
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 「急募!」数学 微分方程式 dy/dx=y+x*y^3 ・・・(1) 但しy(0)=±1をExcel 2 2022/07/20 21:58
- 数学 積分と不等式 2 2023/01/26 21:52
- 数学 dx(t)/dt =rx(t){1-(x(t)/K)} r,Kは正の定数とすると、この微分方程式はラ 1 2022/08/11 16:25
- 数学 微分方程式の積分定数について 5 2023/07/13 08:39
- 数学 『Cの微分.2』 3 2023/02/15 19:47
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
複素数のn乗根が解けません
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
重積分の問題を教えてください。
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
cos π/8 の求め方
-
大学数学 積分基礎について ∫ [...
-
cos17/3πの値は?
-
重積分について
-
極座標θ r φの範囲
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
扇形の図形に長方形が内接
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
{cos(-2/3π)+i sin(-2/3π)}^2...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
複素数のn乗根が解けません
-
扇形の図形に長方形が内接
-
xcos2xのn次導関数を教えてくだ...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
極座標θ r φの範囲
-
複素数の偏角
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
積分計算(定積分)
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
重積分について
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
おすすめ情報