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- 回答日時:
> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?
あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3…)が特異点ですよ.
z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります.
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です.
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です.
さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が
(2) f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから,
(3) z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
です.
したがって,係数 B (すなわち,留数)は
(4) B = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)}
で求められます.
同様に,z=nπ ならローラン展開は
(5) f(z) = B/(z-nπ) + C + D(z-nπ) + E(z-nπ)^2 + ...
ですから,
(6) B = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)}
です.
計算は容易ですからお任せします.
公式にするなら,
f(z) が z=a において k 位の極を持つときには,そこでの留数は
(7) {1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)}
ということになります.
(4)は k=2,(6)は k=1 の場合ですね.
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