
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の補足の質問です。
>これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか?
計算すればゼロになります。計算が間違ったのでしょう!
>0になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
limと微分の順番は入れ替える計算は間違いです!
>上の極限は三角関数の極限値で1になるので、その微分は0となり、したがって留数も0になるという事でしょうか。
そうですがスッキリしないので、(*)の式をちゃんと地道に計算しましょう!
Resf(0)=lim[d/dz{(z-0)^2(1/zsinz)}] [z→0]
=lim{d/dz(z/sinz)} [z→0]
=lim {(sinz-zcosz)/sin^2(z)} [z→0]
0/0型なのでロピタル適用
=lim {(cosz-cosz+zsinz)/(2sinz*cosz)} [z→0]
=lim {z/(2cosz)} [z→0]
=0/2=0
と留数はゼロとなります。
ANo.2に書いたローラン展開の結果の1/zの係数がゼロなので、留数=0と一致します。
お分かりになりました?
おかげ様で留数がゼロと求まりました。
lim {(cosz-cosz+zsinz)/(2sinz*cosz)} [z→0]
の分子が2cosz+zsinzと計算ミスしていたために上手くいかなかったみたいです。こんなつまらない事にお時間を取らせてしまってすいませんでした。
info22_ さん、Tacosanさん、回答有難うございました。
No.3
- 回答日時:
1/(z sin z) が偶関数であることに気付けばほぼ何も考えずに「留数は 0」っていえるはずなんだが....
ところで, 微分係数の計算と極限は交換できるんですか?
No.2
- 回答日時:
>周回積分∫dz/(zsinz) (|z|=1)の積分はz=0で2位の極を持ちます。
よって後は留数定理にしたがって計算するだけなのですが、|z|≦1内の極はz=0のみで2位の極です。したがってz=0における留数は0で積分の答えは0です。
なぜ、「どうしても留数が1になって」と言えるのですか?
1/(zsin(z))のz=0の周りのローラン展開は
1/(zsin(z))=1/z^2 +1/6 +(7/360)z^2 + …
であり、1/zの項は無いので 留数は0です。
積分路内に0でない留数は存在しないので、留数定理から複素積分はゼロになります。
この回答への補足
z=0で2位の極だから留数定理より
Resf(0)=lim[d/dz{(z-0)^2(1/zsinz)}] [z→0]
=lim{d/dz(z/sinz)} [z→0] *
これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか?
0になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
上の極限は三角関数の極限値で1になるので、その微分は0となり、したがって留数も0になるという事でしょうか。
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