面積分はなにをしてるの？

面積分はなにをしてるの？

普通の積分は（高校までの積分）はイメージとしてわかるのですが、いわゆる面積分、体積分、線積分とは計算の結果なにがでてきてれるのかよくわかりません。誰か教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/28 02:54

たとえば、地球の表面温度がf(x,y,z)で表されているとします。

平均温度をT求めるにはどうしましょう？

まず、十分小さな部分ΔSがあるとします。
ここの部分での平均温度はΔSのどの点の温度とも対して差はありません。
なぜなら、十分小さいから。
つまり、このΔSの部分の平均温度は、ほぼf(a,b,c),(a,b,c)?ΔSです。

地球の表面全体を十分小さなΔS(n),1≦n≦N,でN分割します。
すると表面温度の平均Tは(a(n),b(n),c(n))∈ΔS(n)を用いて
T　≒ Σ f(a(n),b(b),c(n))ΔS(n)/EN
とかけます。ここでEは地球の表面積。

ここで ΔS(n)の面積　→ 0　としたときの右辺の極限値を
int[地球の表面]f(x,y,z)dS/E
として表します。
この値がＴと一致して
T = int[地球の表面]f(x,y,z)dS/E
となります。

体積分の場合は、例えば、地球の内部まで含めた平均温度を考えます。
線積分は、ある線に沿った平均温度を考えます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/28 10:24

面積分は

平面上の曲線に囲まれた面積計算は勿論出来ますが、
曲面の面積計算、曲面の関数が与えられれば体積計算（ドーム状建物の容積計算を含む）、面密度関数が与えられば質量計算、図形や立体の重心計算など
をします。

体積積分は曲面に囲まれた立体の体積計算は勿論出来ますが、
曲面で囲まれた立体内部の密度関数が与えられば立体の質量の計算（パイプの中の液状物質の体積や質量の計算、ダム建設に使われるたコンクリートの体積や重量計算なども含む）、立体内部の温度分布が与えられれば立体の平均温度計算など
が出来ます。

線積分は曲線の長さの計算（高圧線の電線の長さ計算なども含む）、線密度が与えられていれば曲線状物体の質量計算や重心の計算などが出来ます。

全部は書き尽くせません。