体積を積分すると

面積を積分すると体積になりますが、
体積を積分するとどうなりますか？

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/04 13:17

薄い円板を考える。

この円板の高さはdh(限りなく0に近いh)
これには体積がある。

これを高さhまで積分すると、円柱だよ。

面積を積分したって面積だろ？
微小な高さが無ければ、つまり高さ0なら、幾ら積み上げたって立体にはならない。

∫のdx、dhが何を表してるのか、基本を復習するんだね。

この回答へのお礼

微積分の基本が理解できないオマエには関係ないこと。

お礼日時：2023/04/06 14:58

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/03 21:21

「面積を積分すると体積になります」

必ず そうなるとは言えません。

2次式を 積分すると 3次式になります。
3次式を 積分すると 4次式になります。

2次式が 必ず 面積を表すとは言えません。
3次式が 必ず 体積を表すとは言えません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/03 19:59

面積 S(x) cm² を x cm で積分すると、

結果は ∫S(x)dx cm³ となって体積の意味になります。
その理由は、S(x)dx が体積の単位を持つからです。

例えば、別の例で、
広大な床を 1 秒あたり S(x) cm² だけ塗ってゆくと、
時刻 0 から T までに塗れる面積は ∫[0,T]S(x)dx cm² です。
面積 S(x) を積分したけれど、結果は体積ではありません。
これは S(x)dx が体積ではなく面積の意味を持っていたからです。

結果が体積かどうかは、積分することで決まるというよりは、
S(x) と dx の掛け算の意味で決まりまります。

あなたが体積 f(x) を積分して ∫f(x)dx を得たとき、
f(x)dx にどんな意味を持たせて立式したのでしょうか？
大切なのは、そこです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/03 14:14

3次元の体積を積分すると4次元の体積になることがあります。