No.5ベストアンサー
- 回答日時:
(x>0)
f(x)=(1/2)x+{3/(2x)}
の最小値
α=√3
β>αを満たす実数βに対して
曲線y=f(x)と直線y=βで囲まれた図形を
y軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(β)とすると
図のように立体はドーナッツ型で
青線がx=y+√(y^2-3) の曲線
赤線がx=y-√(y^2-3) の曲線
あるy座標での
立体の外半径Rは
R=x=y+√(y^2-3)
立体の内半径rは
r=x=y-√(y^2-3)
になるから
あるy座標での
断面積は
πR^2-πr^2
=π{(y+√(y^2-3))^2-(y-√(y^2-3))^2}
に
なるから
V(2α)=π∫_{√3~2√3}{(y+√(y^2-3))^2-(y-√(y^2-3))^2}dy
となる
No.6
- 回答日時:
> 式変形がわからないです。
そもそも赤線の式より前に他の V(2α)=... が出てこないから、
式「変形」の話ではないよね? あるいは、
回転体の体積の公式 V = ∫πx^2 dy は既に念頭にあって、
それがどうやって赤線の式へ変形されるか
って質問なのだろうか。
問題の回転体は、クグロフ型(リング状のケーキの焼型)のような形
をしているわけだが、上記の公式から
クグロフの穴部分の体積が ∫π(y-√(y^2-3))^2 dy,
穴を何かで埋めた台地状の形の体積が ∫π(y+√(y^2-3))^2 dy.
ここで一旦
V(2α) = ∫π(y+√(y^2-3))^2 dy - ∫π(y-√(y^2-3))^2 dy
= π∫(y-√(y^2-3))^2 - (y-√(y^2-3))^2 dy
と一行挟めば親切なのかもしれないが、さすがにそこまで
書かなくとも見れば判るという判断だったのだろう。
ちな、回転体の体積の公式↓ (画面下のほうに、バリエーション一覧あり)
https://manabitimes.jp/math/1363
No.4
- 回答日時:
>x=を求めた後、なぜ赤線部のように変形できるのでしょうか?
変形じゃなくて、回転体の体積を求めている。
回転体の体積を求める公式は知りませんか?
1価関数 f が有って
x=f(y)
なら、y=α~βの領域の回転体の体積は
V = π∫[α→β]{f(y)}^2 dy
回転体を y軸方向の微小距離 dy でスライスすると
回転体は薄い円盤の積み重ねなので
一枚の円盤の体積は π{f(y)}^2 dy
ですから、これを積分したのが体積。
簡単です。
>x=y±√(y^2-3)はどのような時にx=y+√(y^2-3)
>,x=y-√(y^2-3)となるのでしょうか?
図から、y>α の領域で 1個のy の値に対して
xの値が2個あることは明白だと思いますが
わかりませんか?
y軸から遠い方の線で作られる回転体の体積から
y軸に近い方の線で作られる回転体の体積を引いたものが
斜線の部分が回転してできる図形の体積。
図が無いと伝わらないかな・・・
No.3
- 回答日時:
そもそも「体積を求めるために積分する」ということを全く理解していないみたいですね。
「面積を求めるための積分」(区分求積法)を2次元→3次元に拡張したものであり、そもそもの「区分求積法」を理解しているのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
まず、余談のほうから
例えば、y=2になるよなx座標が1と3の2つある
即ち
(1、2)と(3、2)があるよというのが
x=y±√…の式
で、y=√3になるのはx=√3だけだから
この点を境に、これより左のグラフは
x=y-√…で表され
右はx=y+√…で表される
つぎは赤線、
これは式変形でなく
体積を求めに行ったもの
まずは、回転体を水平に、輪切りにする
輪切りの厚さはΔyの超薄切りにして、下から、上までスライスする
すると、位置yの高さにできた1枚のスライスは、y軸を中心とするドーナツじようで
内側半径がy-√…
外側半径がy+√…である
よって、その断面積は
π×半径の二乗=
π{(y+√…)²-(y-√…)²}…①
そして、超薄切りだから
このドーナツは上面と下面で半径にほとんど差がなく、両面とも面積は①だと近似してしまう
→超薄切りスライスは、中身をくり抜かれた円柱とみなせる
その体積
=底面積×高さ
=①×Δy…②
他の高さにあるスライスも同様に体積を求まる
その総和こそ求める体積で
回転体の体積=Σ(②式)
となる
でも、やはり近似は近似
少しは誤差がある
そこで、Δyを限りなく、0に近づける
するとΔyは微小を表すdyにかわり
飛び飛びの値の和を示すΣは
連続の値の和を表す∫に代わるから
赤ラインの積分となるわけ
で、いうまでもなく高さ√3から2√3までのスライスの和を求めるのだから
積分範囲もy=√3から2√3までとなる
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