これ何て呼びますか

3次元のxyz空間で、
x>0
y>0
z>0
x+y<1
y+z<1
z+x<1
で囲まれる部分の体積はどう計算したらいいでしょうか。統合はイコールを含むとします。
重積分で計算できたらいいんですが・・・。

A 回答 (4件)

No.1へのコメントについて。



> なぜ、z→y→xの順

 x,y,zのどれかを最初に選ぶべき理由はない。だからどんな順番でやってもいいんです。
 なぜなら:問題の"x"を"y"へ, "y"を"z"へ, "z"を"x"へと書き換えても、問題が全く変わらないでしょ?これはつまり「問題が対称である」ことを示している。言い換えれば、x,y,zのどれかを最初に選ぶべき理由が、[原理的に]存在しない、ってことです。

> どんなの図形というか立体なのか

 そんなことに煩わされないためにこそ、「重積分で計算できたらいい」とお考えになったのでは?(素晴らしいアイデアです!)

 しかしやっぱり「どんなの」かを知りたい、とおっしゃる。それはそれで、大変結構なことだと思います。
 どんな形なのか、その答を書くだけなら造作もない(し、誰かが書いちゃうかもしれない)が、せっかくですから、自分でトコトン考えてみるのが良い訓練になると思います。ただの三角錐であるわけがない、ってことまではお分かりになってるんだから、あともう一息です。

 やり方としては、例えば:
(step 1) z=0の場合、z=0.1の場合、... のそれぞれについて(x,y)の範囲を丁寧に作図する。(これこそが、No.1でやってる場合分けに対応しています。)それから、それらの図を3次元で積み重ねたらどうなるか、投影図をスケッチする。さらに、問題の対称性を思い出して、x=0の場合、x=0.1の場合、...、および、y=0の場合、y=0.1の場合、... のスケッチを重ねてみると、全体像が掴めるでしょう。
(step 2) それから、豆腐を包丁で切ってみて実験すると良さそうです。(豆腐なら、いくら失敗したって喰っちゃえばいい。)「立方体に包丁を3回入れるだけで作れる面の数」を考えれば、「どんな立体であるはずか」が幾何学的な直感として掴めるに違いない。
(step 3) 仕上げに、座標系を回転したもの、たとえば
 X = (2x-y-z)/√6
 Y = (y-z)/√2
 Z = (x+y+z)/√3
という直交座標系で作図し(立体のイメージを掴んでいれば難しくないでしょう)、さらに不等式をX,Y,Zで書き直してみる。直感を式に引き戻して観察するわけです。(step 1, 2を実践なされば、何でこんな座標系を選ぶか、の理由がピンと来るはず。)
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積分計算は複雑で難しいと思います。



頂点Tからxz線におろした垂線との交点をFとする。

求める体積Vは図の3角錐 xzOTの体積V₁の3倍です。V₁は3角形
xzOを底面Sとし、高さFT=h となります。というのは指定から、
面xzTはxz平面に垂直となるからです。

Tの座標は (1/2,1/2,1/2) だから
l=xT=√{(1-1/2)²+(0-1/2)²+(0-1/2)²}=(√3)/2
h=FT=√(l²-(xF)²)=√{3/4-(1/√2)²}=1/2
S=1/2
V₁=Sh/3=1/12
V=3V₁=1/4
「体積の計算」の回答画像3
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x≧0


y≧0
z≧0
x+y≦1・・y≦1-x
y+z≦1・・z≦1-y
z+x≦1・・x≦1-z
から
1≧x≧0
1≧y≧0
1≧z≧0
の座標(x、y、z)の存在する空間の体積
てえことですね。
底面、1/2*1*1=1/2で高さ1の三角錐の体積=1/3*1/2*1=1/6
でんな。
≦はきごうと入力して変換すると出てきます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
でも本当に三角錐でしょうか?

お礼日時:2021/02/14 03:17

∫∫∫dx dy dz ただし積分範囲が


  z は 0≦z≦1
  y は 0≦y≦1-z
  x は 0≦x≦min(1-y, 1-z)
である。なので、xの範囲がスッキリするように場合分けすりゃいいんです。
  (1) 0≦z≦1/2, 0≦y≦z の場合
  (2) 0≦z≦1/2, z≦y≦1 の場合
  (3) 1/2≦z≦1, 0≦y≦1-z の場合
  (4) 1/2≦z≦1, 1-z≦y≦1 の場合
という風に。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
勉強になりますが・・・。なぜ、z→y→xの順で、そういう風に分けられるのでしょうか?
どんなの図形というか立体なのか・・・・。

お礼日時:2021/02/14 03:18

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