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こんばんわ。
いま大学1年なのですが、微積で二重積分∬というものを計算していて思ったのですが、この∬はx方向とy方向の双方向から積分していて今までやってきた積分を二回しているのと同じで、果たして意味があるのか?と思いました。

初めは教科書を見ていたら二重積分は立体の体積を求めているのかと思えば、三重積分で立体を求めていたので「??」となってしまいました。
どなたか簡単な例などを交えて二重積分の意味(図形のどこを求めているのか)を教えてください。m(__)m

A 回答 (4件)

積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき


平面図形をたくさんの細い帯に分けて考えますよね

これは例えばx方向の幅を細かくして面積をたくさんの長方形(帯)の集まりとして考えているのです

二重積分も同じことで曲面で囲まれた立体の体積を求めるのに使います
立体図形のx方向,y方向の幅を細かくし、立体を細長い柱の集まりとして考えるのです

ではなぜ三重積分でも体積が求まるかというと
それは先ほどの細い柱をさらに縦に細かく切って
立体を細かい立方体の集まりと考えるからです

体積だけなら二重積分で十分な場合も多いのですが
立体の質量を求めるとき密度が一様でなかったら
(二重積分における細い柱の真ん中と端っこが違う素材で出来ているような場合は)
立体をさらに細かくして、狭い範囲では密度が一定と考え質量を求めるのです

もし微積分の教科書を持っているならたいていのものには
二重積分で体積を求めるイメージをわかりやすくグラフや図で説明してあると思います、探してみるのもいいとおもいますよ
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2重積分でも体積になります。


たとえば富士山のような立体の体積を求めるのに
南北方向にy軸、東西方向にx軸、富士山の各地点の標高をz軸に取れば
z=f(x,y)[m]は富士山の表面形状を表す曲面の式になります。これを富士山を含む南北方向の範囲(yの積分区間:単位m)と東西方向の範囲(xの積分区間:単位m)で積分すると富士山の体積V[m^3]は
V=∫∫f(x,y)dxdy
で表されます。
単位的にはf(x,y)は高さで単位は[m]
dxとdyは距離(長さ)で単位はそれぞれ[m]
f(x,y)dxdyの単位は[m^3](立方メートル)で体積の次元になります。
f(x,y)dxdyは微小な細い四角柱です。これをx軸方向、y軸方向に加え合わせた
V=∫∫f(x,y)dxdy
が富士山の体積というわけです。

2重積分はxy座標軸だけで定義されているわけではありません。たとえば極座標系では
V=∫∫g(r,θ)drdθ
などで表されます。

2重積分が体積を表すかどうかが関数や積分変数が何を表しているかで決まります。

3重積分についても体積を表す場合もありますし、
そうでない場合もあります。
たとえば、
M=∫∫∫D(x,y,x)dxdydz

ある直方体の金鉱石に含まれる金の質量を求める積分を求める積分になります。つまり、
被積分関数D(x,y,z)は金の密度関数、つまり微小な岩石の微小体積dxdydz(幅dx,奥行きdy,高さdz)に金の体積あたりの含有量(密度)D(x,y,z)を掛けれた
D(x,y,z)dxdydz
は微小な岩石の微小体積dxdydzに含まれる金の質量を表します。
D(x,y,z)の単位は密度ですので[kg/(m^3)]
これに微小な体積dxdydz[m^3]をかけた
D(x,y,z)dxdydz
は[Kg/(m^3)][m^3]={Kg]の単位を持ちます。
この微小な体積中の金の質量を岩石全体について加え合わせた積分
M=∫∫∫D(x,y,x)dxdydz
はその岩石に含まれる金の質量[Kg]を表すことになります。

というわけです。

各変数や被積分関数(積分核)が何を表し、どんな次元(長さ、面積、時間、質量、密度、速度、加速度、エネルギー密度など)を持つかで積分が何を表すかが決まってきます。
2重積分、3重積分が面積、体積を表す場合もありますが、被積分関数、積分変数の次元が長さ(距離)以外ののものが含まれればそうならないことは明らかですね。
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設問にもよると思いますが、この場合、


 一重積分:微小な線分を足していった時の線の長さ
 二重積分:細長い長方形を足していった時の面積
 三重積分:薄い直方体を足していったときの体積
ということだと思います。

たとえば半径rの円の面積を二重積分を用いて求めるとします。
まず、xだけ考えると-rからrまでの範囲で動けます。
したがって、xの積分範囲は-rからrまでです。
次に、xを固定したときにyが取れる範囲を考えると、-r(1-x^2)^(1/2)からr(1-x^2)^(1/2)までです。
したがって、yの積分範囲は-r(1-x^2)^(1/2)からr(1-x^2)^(1/2)までになります。
実際の積分のイメージとしては、まずx軸上のどこかにわずかな長さdxをもつ線分を考えて、y方向の長さをかけて細長い長方形の面積を求めます(yで積分)。
正確なことを言うと、dxは限りなく0に近いため、xで積分しない限り細長い長方形は線でしかありません。
次にこの細長い長方形を集めて、円の面積を求めます。
長方形の大きさは、xの値によって変わりますが、これを集めることが積分に相当します。
すると、全体の円の面積が求まるという流れです。
実際の計算は若干めんどくさいため、ここでは省略します。
そんな感じでお分かりいただけたでしょうか。
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説明は難しいですね。

質問の意味もうまくくみ取れませんので適当に。
二重積分∬f(x,y)dxdyはXY平面の各座標点(x,y)に対応したある値の積分です(この言い方はもっと抽象化されますが私には説明できません)。グラフz=f(x,y)を考えるとこの二重積分は3次元空間の曲面とXY平面の間の体積となります。あるいは√(1+fx^2+fy^2)の二重積分はグラフz=f(x,y)の表面積です(fx,fyは偏微分)。あるいはf(x,y)をXY平面の密度とすると二重積分は平面の重量を与えます。

あと、体積だけなら二重積分も三重積分もあまり変わらないのですが上に説明したように各座標に対応した値の積分と言うことで(x,y)か(x,y,z)かと言う違いがでてきます。
たとえば、z方向にも密度が異なったときは三重積分して重量を求める必要があります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>√(1+fx^2+fy^2)の二重積分はグラフz=f(x,y)の表面積です(fx,fyは偏微分)。
と書かれていたのですが、上に述べられた式は表面積の公式でしょうか?

補足日時:2005/11/05 19:26
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